Математическое моделирование 22
Содержание
О курсе
Данный курс Математическое моделирование читается во 2-ом семестре 2021/2022 учебного года на Факультете компьютерных наук НИУ ВШЭ для специализации Математическая инженерия.
Курс состоит из следующих перемежающихся друг с другом разделов:
- собственно модели (вариационное исчисление, дифференциальная геометрия, физика),
- точные методы исследования моделей (алгебраические, аналитические),
- численные методы исследования моделей.
Рассчитан на 1 семестр (2 модуля).
Область знаний, которую можно было бы назвать математическим моделированием, изучает как сами математические модели, так и общие закономерности их построения и методы анализа.
Как известно, любая наука в процессе своего становления проходит путь от классификации изучаемых объектов (примеры таких классификаций мы можем видеть в астрономии, биологии, химии) к их математическому описанию. По мнению А.Н. Уайтхеда: всякая наука по мере развития и совершенствования ее методов становится математической в своих основных понятиях.
Наиболее долгий и плодотворный путь в этом направлении прошла физика, влиянием которой проникнуты многие разделы математики. Можно даже сказать, что математика и физика развивались параллельно, взаимно обогащая друг друга идеями и методами. Поэтому выбор физики как плацдарма для курса математического моделирования вполне закономерен. С другой стороны, конечно, математическое моделирование не есть физика. Мы берем из физики лишь сами модели, оставляя физикам мотивировки и интерпретации.
План курса
В рамках семестрового курса мы вряд ли имеем возможность вникать в изучаемые темы слишком глубоко. Многие из представленных ниже тем в отдельности могли бы претендовать на семестровый курс, или даже более. Наш курс следует рассматривать как не более, чем знакомство с некоторыми задачами и методами математического моделирования. Приведенные в каждой теме литературные ссылки могут быть полезны для более детального изучения (эти книги рекомендуется по крайней мере бегло просматривать, чтобы составить себе общее представление). Дополнительные, более конкретные ссылки приведены в списках задач.
0. Введение в математическое моделирование
Занятия 1,2 (17.01):
0.1 Общее представление о математической модели.
0.2 Корректность по Адамару.
0.3 Математическая модель как система уравнений.
0.4 Пример алгебраического уравнения: уравнение Кеплера.
Занятия 3,4 (24.01):
0.5 Примеры моделей, связанных с ОДУ
0.6 Дифференциальные операции векторного анализа
Занятие 5 (31.01):
0.7 Примеры моделей, связанных с УрЧП
0.8 Примеры моделей, некорректных по Адамару
Литература (вообще по предмету математическое моделирование):
1. Самарский А.А., Михайлов А.П. - Математическое моделирование. М.: Физматлит, 2001
2. Зарубин В.С. - Математическое моделирование в технике. М.: Изд-во МГТУ им. Баумана, 2003
3. Амелькин В.В., Садовский А.П. - Математические модели и дифференциальные уравнения. Минск: Выш. школа, 1982
1. Вариационное исчисление
Занятие 6 (31.01):
1.1 Основные нормированные пространства
1.2 Понятие непрерывного функционала
Занятия 7,8 (07.02):
1.3 Механическая система, функция Лагранжа и функционал действия
1.4 Типы вариационных задач
1.5 Дифференциал (вариация) функционала и необходимое условие экстремума
Занятия 9,10 (14.02):
1.6 Основные леммы вариационного исчисления
1.7 Задача с закрепленной границей
Занятия 11,12 (21.02):
1.8 Задача со свободной границей
1.9 Задача с подвижной границей, условие трансверсальности
1.10 Задача на условный экстремум
Занятия 13,14 (28.02):
1.11 Уравнения Гамильтона
1.12 Теорема Нётер и законы сохранения
1.13 Уравнение Гамильтона - Якоби
Литература:
1. Гельфанд И.М., Фомин С.В. - Вариационное исчисление. М.: Физматлит, 1961
2. Смирнов В.И. - Курс высшей математики. Том 4 часть 1. М.: Наука, 1974. Глава 2
3. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. - Курс теоретической физики. Том 1. Механика.
4. Дубровин Б.А., Новиков С.П., Фоменко А.Т. - Современная геометрия. М.: URSS, 2013. Том 1. Главы 5, 6
2. Дифференциальная геометрия
[ Задачи]
Занятия 15,16 (07.03):
2.1 Понятие кривой
2.2 Кривизны, сопровождающий базис и уравнения Френе
Занятия 17,18 (14.03):
2.3 Понятие поверхности
2.4 Первая квадратичная форма
Занятия 19,20 ():
2.5 Вторая квадратичная форма. Главные кривизны
2.6 Средняя кривизна и полная кривизна
2.7 Деривационные формулы Гаусса - Вейнгартена. Символы Кристоффеля
Занятия 21,22 ():
2.8 Уравнения Гаусса и Петерсона - Кодацци
2.9 Ковариантная производная и геодезические линии
2.10 Полугеодезические координаты
Литература:
1. Шилов Г.Е. - Математический анализ. Функции одного переменного. Часть 3. М.: 1970. Глава 16
2. Шилов Г.Е. - Математический анализ. Функции нескольких вещественных переменных. Части 1-2. М.: 1972. Глава 5.
3. Дубровин Б.А., Новиков С.П., Фоменко А.Т. - Современная геометрия. М.: URSS, 2013. Том 1. Главы 1, 2
4. Алексеевский Д.В., Виноградов А.М., Лычагин В.В. - Основные идеи и понятия дифференциальной геометрии // Итоги науки и техн. Соврем. пробл. мат. Фундам. направления, том 28, Геометрия-1. М.: ВИНИТИ, 1988. Главы 1,2
5. Савелов А.А. - Плоские кривые. М.: ЛИБРОКОМ, 2014
6. Кривошапко С.Н., Иванов В.Н., Халаби С.М. - Аналитические поверхности. М.: Наука, 2006
3. УрЧП математической физики
Литература:
1. Франк Ф., Мизес Р. - Дифференциальные и интегральные уравнения математической физики. М-Л: ОНТИ, 1937
2. Тихонов А.Н., Самарский А.А. - Уравнения математической физики. М.: Наука, 2004
3. Годунов С.К. - Уравнения математической физики. М.: Наука, 1971
4. Задача Коши для УрЧП
Литература:
1. Хартман Ф. - Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Мир, 1970. Глава 6
2. Курант Р. - Уравнения с частными производными. М.: Мир, 1964. Глава 1 §7, глава 2
3. Рашевский П.К. - Геометрическая теория уравнений с частными производными. М.: УРСС, 2012
4. Фиников С.П. - Метод внешних форм Картана. М.-Л.: ОГИЗ, 1948.
5. Краевые задачи для УрЧП
Литература:
1. Тихонов А.Н., Самарский А.А. - Уравнения математической физики. М.: Наука, 2004
2. Годунов С.К. - Уравнения математической физики. М.: Наука, 1971
3. Курант Р. - Уравнения с частными производными. М.: Мир, 1964
4. Самарский А.А., Гулин А.В. - Численные методы. М.: Наука, 1989
6. УрЧП 2-го порядка
Литература:
1. Курант Р. - Уравнения с частными производными. М.: Мир, 1964
2. Тихонов А.Н., Самарский А.А. - Уравнения математической физики. М.: Наука, 2004
3. Годунов С.К. - Уравнения математической физики. М.: Наука, 1971
4. Самарский А.А., Гулин А.В. - Численные методы. М.: Наука, 1989
7. Метод малого параметра
Литература:
1. Найфэ А.Х. - Методы возмущений. М.: Мир, 1976
2. Моисеев Н.Н. - Асимптотические методы нелинейной механики. М.: Наука, 1981
3. Ильин А.М. - Пограничный слой // Итоги науки и техн. Соврем. пробл. мат. Фундам. направления, том 34, Дифференциальные уравнения с частными производными - 5. М.: ВИНИТИ, 1988. Глава 5
Занятия
Занятия проводятся в смешанном формате, без разделения материала на теорию / практику. Теоретический материал сопровождается практическим решением задач как аналитически (вручную или в системе компьютерной алгебры), так и численно (например, в питоне).
Записи занятий выкладываются в [ плейлист]
Формы контроля
По каждой теме выдается список задач, который рекомендуется рассматривать как большое домашнее задание. Изучение задач со звездочками желательно, но необязательно, эти задачи никуда не идут. После прохождения темы (за исключением Введения) проводится контрольная работа.
Текущие оценки за контрольные выставляются в [ гугл-таблицу]
В конце семестра предусмотрен экзамен, имеющий формат большой контрольной работы по всему материалу курса.
Итоговая оценка = 0.7 К + 0.3 Э
