Алгебра на ПМИ 2018/2019 (основной поток)
Содержание
Преподаватели и учебные ассистенты
| Группа | БПМИ183 | БПМИ185 | БПМИ186 | БПМИ187 | БПМИ188 | БПМИ189 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Лектор | Роман Сергеевич Авдеев | |||||
| Семинарист | Дмитрий Витальевич Трушин | Роман Сергеевич Авдеев | Сергей Александрович Гайфуллин | Станислав Николаевич Федотов | Антон Андреевич Шафаревич | Роман Сергеевич Авдеев |
| Ассистент | Никита Башаев | Наталья Доброхотова-Майкова | Марат Саидов | Лев Ходжоян | Аделина Бакиева | Андрей Гусев |
Расписание консультаций
| Преподаватель/ассистент | понедельник | вторник | среда | четверг | пятница | |
|---|---|---|---|---|---|---|
| |
Роман Сергеевич Авдеев | 15:40–17:40, ауд. 623 | 15:40–16:30, 18:10–19:00, ауд. 623 | |||
| |
Дмитрий Витальевич Трушин | 16:40–18:00, ауд. 503 | ||||
| |
Сергей Александрович Гайфуллин | 18:10–19:30, ауд. 623 | ||||
| |
Станислав Николаевич Федотов | |||||
| |
Антон Андреевич Шафаревич | 12:10–19:30, ауд. 623 | ||||
| |
Никита Башаев | 12:10–13:30 | ||||
| |
Наталья Доброхотова-Майкова | 18:10–19:30, ауд. 300 | ||||
| |
Марат Саидов | 16:40–18:00 | ||||
| |
Лев Ходжоян | 13:40–18:00 | ||||
| |
Аделина Бакиева | 13:40–15:00, ауд. 618 | ||||
| |
Андрей Гусев | 18:10–19:30, ауд. 304 |
Порядок формирования оценок
Накопленная оценка вычисляется по следующей формуле:
Oнакопленная = 0,6 * Oдз + 0,4 * Oк/р,
где Oдз1 — оценка за домашние задания, Oк/р — оценка за контрольную работу.
Итоговая оценка выражается через накопленную и оценку за экзамен следующим образом:
Oитоговая = 0,5 * Oнакопленная + 0,5 * Оэкз.
Округление производится только для итоговой оценки. Способ округления — арифметический.
Краткое содержание лекций
Лекция 1 (1.04.2019). Бинарные операции. Полугруппы, моноиды, группы, коммутативные (абелевы) группы. Порядок группы. Примеры групп. Подгруппы. Описание всех подгрупп в группе целых чисел по сложению. Циклические подгруппы. Порядок элемента группы. Связь между порядком элемента и порядком порождаемой им циклической подгруппы. Циклические группы. Левые смежные классы группы по подгруппе, разбиение группы на левые смежные классы. Индекс подгруппы, теорема Лагранжа.
Лекция 2 (8.04.2019). Пять следствий из теоремы Лагранжа. Нормальные подгруппы. Факторгруппа группы по нормальной подгруппе. Гомоморфизмы групп, простейшие свойства. Изоморфизм групп, изоморфные группы. Ядро и образ гомоморфизма групп. Теорема о гомоморфизме для групп. Классификация циклических групп с точностью до изоморфизма.
Лекция 3 (15.04.2019). Прямое произведение групп и разложение группы в прямое произведение подгрупп. Разложение конечной циклической группы. Подгруппа p-кручения в абелевой группе. Разложение конечной абелевой группы в прямое произведение подгрупп p-кручения. Примарные абелевы группы. Теорема о разложении конечной абелевой группы в прямое произведение примарных циклических групп, доказательство единственности числа и порядков примарных циклических множителей. Экспонента конечной абелевой группы, критерий цикличности. Криптография с открытым ключом. Задача дискретного логарифмирования.
Лекция 4 (22.04.2019). Система Диффи–Хеллмана обмена ключами. Криптосистема Эль–Гамаля. Понятие кольца, примеры. Коммутативные кольца. Обратимые элементы, делители нуля, нильпотенты. Поля. Критерий того, что кольцо вычетов является полем. Подкольца, подполя, гомоморфизмы, изоморфизмы. Идеалы в кольце. Главные идеалы и идеалы, порождённые подмножеством коммутативного кольца. Факторкольцо кольца по идеалу. Ядро и образ гомоморфизма колец. Теорема о гомоморфизме для колец (формулировка).
Лекция 5 (29.04.2019). Доказательство теоремы о гомоморфизме для колец. Делимость в коммутативных кольцах без делителей нуля. Ассоциированные элементы. Наибольший общий делитель двух элементов. Кольца главных идеалов. Существование наибольшего общего делителя для двух элементов a и b кольца главных идеалов и его линейная выразимость через a и b. Простые элементы. Факториальные кольца. Деление с остатком в кольце многочленов от одной переменной над полем. Теорема о том, что кольцо многочленов от одной переменной над полем является кольцом главных идеалов. Факториальность кольца многочленов от одной переменной над полем. Неприводимые многочлены.
Лекция 6 (13.05.2019). Лексикографический порядок на одночленах от нескольких переменных. Лемма о конечности убывающих цепочек одночленов. Старший член ненулевого многочлена. Элементарная редукция многочлена относительно ненулевого многочлена. Нередуцируемые многочлены. Лемма о конечности цепочек элементарных редукций. Остаток многочлена относительно заданной системы многочленов. Системы Грёбнера. Характеризация систем Грёбнера в терминах цепочек элементарных редукций. S-многочлены. Критерий Бухбергера (формулировка).
Лекция 7 (20.05.2019). Доказательство критерия Бухбергера. Теорема Гильберта о базисе идеала (без доказательства). Базис Грёбнера идеала, теорема о трёх эквивалентных условиях. Решение задачи вхождения многочлена в идеал. Лемма о конечности цепочек одночленов, в которых каждый следующий одночлен не делится ни на один из предыдущих. Алгоритм Бухбергера построения базиса Грёбнера идеала. Редуцируемость к нулю S-многочлена двух многочленов с взаимно простыми старшими членами.
Лекция 8 (27.05.2019). Поля. Характеристика поля. Расширение полей, его степень. Степень композиции двух расширений. Критерий того, что факторкольцо K[x]/(h) является полем. Свойства поля K[x]/(h), где h — неприводимый многочлен. Существование конечного расширения исходного поля, в котором заданный многочлен имеет корень. Поле разложения многочлена. Алгебраические и трансцендентные элементы. Минимальный многочлен алгебраического элемента и его свойства. Поле, порождённое алгебраическим элементом.
Лекция 9 (3.06.2019). Конечные поля. Порядок конечного поля. Автоморфизм Фробениуса. Существование и единственность конечного поля, порядок которого — степень простого числа. Поле из четырёх элементов. Цикличность мультипликативной группы конечного поля. Неприводимые многочлены над полем вычетов. Описание подполей конечного поля.
Листки с задачами
Листок с задачами к лекции N содержит в себе N-е домашнее задание.
Контрольная работа
Дата-время-место: 11 июня, 15:10, аудитории 622 (группы 185, 186, 188, 189) и 509 (группы 183, 187)
На контрольной можно пользоваться любыми материалами на бумажных носителях. Использование электронных устройств (кроме тех, у которых единственная функция — калькулятор) запрещено.
Типы задач на контрольной работе
- Порядки элементов и подгруппы в конечных абелевых группах [60.39, 60.40, 60.42, 60.43, 60.45]
- Алгоритм Евклида и линейное представление НОД в кольце многочленов [25.2, 25.3, 25.7]
- Разложение многочленов на неприводимые множители над полями R, C и Z_p [27.1, 27.2, ещё примеры]
- Базисы Грёбнера и задача вхождения [примеры]
- Минимальные многочлены и вычисления в конечных расширениях полей [67.3, 67.13]
- Системы линейных уравнений с коэффициентами в конечном поле [примеры]
Для каждого типа в скобках указаны задачи, рекомендуемые к прорешиванию в качестве тренировки (номера даны по Сборнику задач по алгебре под редакцией А.И. Кострикина).
Экзамен
Формат экзамена: устный, по билетам (в каждом по два вопроса из программы)
Ведомости текущего контроля
| 183 | 185 | 186 | 187 | 188 | 189 |
|---|
Литература
- Э.Б. Винберг. Курс алгебры. М.: Факториал Пресс, 2002.
- А.И. Кострикин. Введение в алгебру. Основы алгебры. М.: Наука. Физматлит, 1994.
- А.И. Кострикин. Введение в алгебру. Основные структуры алгебры. М.: Наука. Физматлит, 2000.
- Сборник задач по алгебре под редакцией А.Н. Кострикина. Новое издание. М.: МЦНМО, 2009.
- Р. Лидл, Г. Нидеррайтер. Конечные поля (2 тома). М.: Мир, 1988.
- И.В. Аржанцев. Базисы Грёбнера и системы алгебраических уравнений. М.: МЦНМО, 2003.
