Линейная алгебра и геометрия на ПМИ 2018/2019 (основной поток)
Содержание
Преподаватели и учебные ассистенты
Группа | БПМИ183 | БПМИ185 | БПМИ186 | БПМИ187 | БПМИ188 | БПМИ189 |
---|---|---|---|---|---|---|
Лектор | Роман Сергеевич Авдеев | |||||
Семинарист | Дмитрий Витальевич Трушин | Роман Сергеевич Авдеев | Сергей Александрович Гайфуллин | Станислав Николаевич Федотов | Антон Андреевич Шафаревич | Сергей Александрович Гайфуллин |
Ассистент | Александр Газарян | Тимур Петров | Лев Хорошанский | Илья Анищенко | Анна Соколова | Наталия Бондаренко |
Расписание консультаций
Преподаватель/ассистент | понедельник | вторник | среда | четверг | пятница | |
---|---|---|---|---|---|---|
|
Роман Сергеевич Авдеев | 15:40–17:40, ауд. 623 | ||||
|
Дмитрий Витальевич Трушин | 15:10–16:30, ауд. 300 | ||||
|
Сергей Александрович Гайфуллин | 18:10–19:30, ауд. 435 | ||||
|
Станислав Николаевич Федотов | |||||
|
Антон Андреевич Шафаревич | 18:10–19:30, ауд. 618 | ||||
|
Александр Газарян | 9:00–10:20, ауд. уточняется | ||||
|
Тимур Петров | 16:40–18:00, ауд. 308 | ||||
|
Лев Хорошанский | 10:30–11:50, ауд. 501 | ||||
|
Илья Анищенко | 12:10–13:30, ауд. уточняется | ||||
|
Анна Соколова | 9:00–10:20, ауд. 310 | ||||
|
Наталия Бондаренко | 15:10–16:30, ауд. 322 |
Формы контроля знаний студентов
- Коллоквиум
- Контрольная работа
- Большие домашние задания (делящиеся на индивидуальные домашние задания и лабораторные работы)
- Активность и работа на семинарах
- Экзамен
Бонус к накопленной оценке:
- Устная сдача задач из листков
Порядок формирования итоговой оценки
2-й модуль
Формула для накопленной оценки:
Oнакопленная = 0,33 * Околл + 0,25 * Oк/р + 0,29 * Oд/з + 0,13 * Oсем + 0,1 * Oл,
где Околл — оценка за коллоквиум, Oк/р — оценка за контрольную работу, Oд/з — оценка за большие домашние задания, Oсем — оценка за работу на семинарах и Oл — оценка за сдачу задач из листков.
Формула для итоговой оценки:
Oитоговая = 0,7 * Oнакопленная + 0,3 * Оэкз.
В этой формуле используется неокруглённое значение накопленной оценки. Способ округления итоговой оценки — арифметический.
4-й модуль
Краткое содержание лекций
Лекция 1 (6.09.2018). Матрицы. Равенство матриц. Операции сложения и умножения на скаляр для матриц, свойства этих операций. Пространство R^n, его отождествление с матрицами-столбцами высоты n. Транспонирование матриц, его простейшие свойства. Умножение матриц, примеры.
Лекция 2 (8.09.2018). Основные свойства умножения матриц. Некоммутативность умножения матриц. Диагонали квадратной матрицы. Диагональные матрицы. Умножение на диагональную матрицу слева и справа. Единичная матрица и её свойства. След квадратной матрицы и его свойства. Системы линейных уравнений.
Лекция 3 (20.09.2018). Матричная форма записи системы линейных уравнений. Совместные и несовместные системы линейных уравнений. Эквивалентные системы линейных уравнений. Расширенная матрица системы линейных уравнений. Элементарные преобразования системы линейных уравнений и соответствующие преобразования строк её расширенной матрицы. Сохранение множества решений системы линейных уравнений при элементарных преобразованиях. Ступенчатые матрицы. Улучшенный ступенчатый вид матрицы. Приведение матрицы к ступенчатому виду элементарными преобразованиями строк. Приведение ступенчатой матрицы к улучшенному ступенчатому виду элементарными преобразованиями строк.
Лекция 4 (27.09.2018). Реализация элементарных преобразований строк матрицы при помощи умножения слева на подходящую матрицу. Метод Гаусса решения систем линейных уравнений. Главные и свободные неизвестные. Общее решение системы линейных уравнений. Однородные системы линейных уравнений. Существование ненулевого решения у однородной системы линейных уравнений, в которой число неизвестных больше, чем число уравнений. Связь между множеством решений системы линейных уравнений и множеством решений соответствующей однородной системы. Перестановки и подстановки.
Лекция 5 (4.10.2018). Инверсии в подстановке. Знак и чётность подстановки. Произведение подстановок. Ассоциативность произведения подстановок. Теорема о знаке произведения подстановок. Тождественная подстановка. Обратная подстановка и её знак. Транспозиции, знак транспозиции. Определитель квадратной матрицы. Определители порядков 2 и 3.
Лекция 6 (11.10.2018). Определитель транспонированной матрицы. Определитель матрицы со строкой (столбцом) нулей. Поведение определителя при умножении строки (столбца) на число и при разложении строки (столбца) в сумму двух строк (столбцов). Изменение знака определителя при перестановке двух строк (столбцов). Определитель матрицы, содержащей две одинаковых строки (два одинаковых столбца). Поведение определителя при прибавлении к строке (столбцу) другой, умноженной на число. Верхнетреугольные и нижнетреугольные матрицы, их определители.
Лекция 7 (13.10.2018). Определитель с углом нулей. Определитель произведения матриц. Дополнительные миноры и алгебраические дополнения к элементам квадратной матрицы. Лемма об определителе матрицы, содержащей ровно один ненулевой элемент в некоторой строке. Разложение определителя по строке (столбцу). Лемма о фальшивом разложении определителя. Обратная матрица, её единственность. Невырожденные матрицы. Определитель обратной матрицы.
Лекция 8 (13.10.2018). Присоединённая матрица. Критерий обратимости квадратной матрицы, явная формула для обратной матрицы. Следствия из критерия обратимости. Матричные уравнения вида AX=B и XA=B, общий метод их решения. Вычисление обратной матрицы при помощи элементарных преобразований. Понятие поля. Простейшие примеры. Построение поля комплексных чисел.
Лекция 9 (8.11.2018). Алгебраическая форма комплексного числа, его действительная и мнимая части. Комплексное сопряжение. Геометрическая модель комплексных чисел, интерпретация сложения и сопряжения в этой модели. Модуль комплексного числа, его свойства. Аргумент комплексного числа. Тригонометрическая форма комплексного числа. Умножение и деление комплексных чисел в тригонометрической форме. Возведение в степень комплексных чисел в тригонометрической форме, формула Муавра. Извлечение корней из комплексных чисел. Основная теорема алгебры комплексных чисел (без доказательства).
Лекция 10 (15.11.2018). Деление многочленов с остатком. Теорема Безу. Кратность корня многочлена. Утверждение о том, что всякий многочлен степени n с комплексными коэффициентами имеет ровно n корней с учётом кратностей. Векторные пространства, простейшие следствия из аксиом. Подпространства векторных пространств. Утверждение о том, что множество решений однородной системы линейных уравнений с n неизвестными является подпространством в F^n.
Листки с задачами
Задачи из листков можно сдавать любому семинаристу по данному предмету (в том числе с пилотного потока) в часы его консультаций или по договорённости.
Правила сдачи и оценивания задач из листков:
- каждый пункт в листке считается отдельной задачей
- сдача задачи возможна только при наличии её решения в письменном виде
- результатом сдачи одной задачи может быть 0 или 1
Листок 1. Матричные алгебры Ли
Сроки сдачи листка 1:
задачи принимаются в период с момента выдачи листка по 20 октября включительно
в период с 15 по 20 октября включительно одному студенту разрешается сдать не более шести задач
Листок 2. Разложения матриц
Сроки сдачи листка 2 будут объявлены позднее.
Лабораторные работы
Для каждой лабораторной работы файл с условием представляет собой IPython ноутбук. Выполнять работу нужно прямо в нём. При этом, пожалуйста, не удаляйте условия задач. Задание должно быть выполнено на языке Python 3.
Готовые лабораторные нужно сдавать в систему AnyTask. Инвайты для регистрации на курс:
183 | 185 | 186 | 187 | 188 | 189 |
---|---|---|---|---|---|
CBZfWmT | VH3dlCy | bBZRDfw | kG9oqkI | z0gzpIw | q3mJuTw |
Краткое руководство по работе с системой прилагается.
Для того чтобы начать работать с IPython (Jupyter) ноутбуками, рекомендуется скачать Анаконду (теоретически можно и без неё справиться, но лучше не ищите себе сложностей).
Все вопросы по лабораторным работам можно задавать Станиславу Николаевичу Федотову. Пишите на почту: st-fedotov@yandex-team.ru
Внимание: тема письма должна начинаться с [ФКН - лабораторная N], где N — номер лабораторной работы.
Без этого письмо с некоторой вероятностью может остаться без ответа.
Лабораторная работа 1 (2-й модуль)
Срок:
3 декабря 23:30 для групп 185–189
5 декабря 23:30 для группы 183
Контрольные работы
2-й модуль
Дата-время: 16 ноября, 16:40–18:40
Распределение групп по аудиториям:
- группы 183, 186: аудитория 317
- группы 185, 187, 188, 189: аудитория 622
Разрешения на контрольной: иметь с собой только ручку и электронное устройство с единственной функцией "калькулятор".
Ниже приводится список задач, рекомендуемых к прорешиванию для подготовки к контрольной. Задачи в списке рассортированы по темам, номера с пометкой "П" даны по задачнику Проскурякова, номера с пометкой "К" — по задачнику Кострикина.
- Решение систем линейных уравнений: П 82–89, 567–581, 689–704, 712–720; К 8.1, 8.2
- Действия с матрицами: П 788–798, 801–805, 822–825, 836–845, 861–870, 937; К 17.1–17.5, 17.7, 18.3, 18.8, 18.9, 18.11
- Подстановки: П 123–128, 151–161, 176–178; К 3.1–3.4, 3.6, 3.7
- Определители произвольного порядка: определение: П 188–206, К 10.1–10.4
- Свойства определителей произвольного порядка: П 212–215, 224–232 ; К 11.1–11.4, 11.6–11.7
- Вычисление определителей произвольного порядка: П 238–240, 257–269, 279, 316; К 14.1
Коллоквиумы
Формат проведения коллоквиумов
Этап 1 (2 балла). Студент вытягивает пять бумажек из списка определений/формулировок, ему даётся 10 минут на их написание, после чего один из принимающих проверяет результат. Если результат меньше 4 (из 5), то коллоквиум завершается с оценкой 0. Если результат не меньше 4, то студент переходит на этап 2, получив за этап 1 оценку N-3, где N — число правильно отвеченных определений.
Этап 2 (4 балла). Студент вытягивает билет с двумя вопросами из списка вопросов на доказательство, ему даётся 45 минут на подготовку, после чего принимающий (как правило, другой) проверяет результат. По результатам разговора выставляется оценка за этап 2.
Этап 3 (4 балла). Дальнейший опрос принимающего по программе, в ходе которого могут даваться задачи на понимание теории. По результатам опроса выставляется оценка за этап 3.
2-й модуль
Даты коллоквиума: 7,8 декабря
Начало списка определений и формулировок
Начало списка вопросов на доказательство
Ведомости текущего контроля
Результаты проверки больших домашних заданий
183 | 185 | 186 | 187 | 188 | 189 |
---|
Результаты сдачи задач из листков
183 | 185 | 186 | 187 | 188 | 189 |
---|
Результаты 1-й контрольной работы
183 | 185 | 186 | 187 | 188 | 189 |
---|
Литература
Учебники
- А.И. Кострикин. Введение в алгебру. Часть I. Основы алгебры. М.: Физматлит, 1994
- А.И. Кострикин. Введение в алгебру. Часть II. Линейная алгебра. М.: Физматлит, 2000
- Э.Б. Винберг. Курс алгебры. М.: Факториал, 1999 (или любое последующее издание)
- А.А. Михалёв, А.В. Михалёв. Начала алгебры. Часть I. М.: Интернет-университет информационных технологий, 2005
Сборники задач
- И.В. Проскуряков. Сборник задач по линейной алгебре (любое издание, например М.: БИНОМ, 2005)
- Сборник задач по алгебре под редакцией А.Н. Кострикина. Новое издание. М.: МЦНМО, 2009.
- Г.Д. Ким, Л.В. Крицков. Алгебра и аналитическая геометрия. Теоремы и задачи. Том I. М.: "Планета знаний", 2007.