Алгебра 2014/2015

Цель этого небольшого курса — познакомить слушателей с основными структурами современной алгебры. Первые пять лекций посвящены теории групп, последние пять — кольцам и полям. Мы докажем базовые факты об этих структурах и продемонстрируем их возможные приложения. Сдавшие этот курс смогут, среди прочего, перечислить с точностью до изоморфизма все коммутативные группы из 100 элементов, найти сумму кубов корней данного многочлена, доказать, что многочлен от многих переменных однозначно раскладывается на простые множители, и объяснить, почему не существует поля из 6 элементов.

Преподаватели и учебные ассистенты

Группа	101	102	103	104	105	106	107	108
Лектор	Иван Владимирович Аржанцев				Роман Сергеевич Авдеев
Семинарист	Роман Сергеевич Авдеев	Иван Владимирович Аржанцев		Полина Юрьевна Котенкова		Роман Сергеевич Авдеев		Андрей Александрович Кустарёв
Ассистент	Виктор Табаков	Андрей Васильев	Ярослав Хроменков	Роман Кизилов	Максим Каледин	Екатерина Соколова	Фёдор Коган	Дмитрий Петров

Расписание консультаций

	Преподаватель/ассистент	понедельник	вторник	среда	четверг	пятница
1	Иван Владимирович Аржанцев		17:00–18:30, каб. 603
2	Роман Сергеевич Авдеев		18:10–18:50, ауд. 313		13:40–14:20, ауд. 313
3	Полина Юрьевна Котенкова			18:10–19:30, ауд. 313
4	Андрей Александрович Кустарёв			16:40–17:40, ауд. 313
5	Виктор Табаков		15:10–16:30, ауд. 312
6	Андрей Васильев					18:10–19:30, ауд. 511
7	Ярослав Хроменков				12:10–13:30, ауд. 313
8	Роман Кизилов				13:40–15:00, ауд. 314
9	Максим Каледин				13:40–15:00, ауд. 511
10	Екатерина Соколова				15:10–16:30, ауд. 314
11	Фёдор Коган	16:40–18:00, ауд. 314
12	Дмитрий Петров		12:10–13:30, ауд. 511

Формы контроля знаний студентов

Домашняя работа

Домашние задания условно разделены на две части, каждая из которых содержит по 20 задач. Первая часть (по теории групп) состоит из 5 блоков по 4 задачи в каждом, вторая часть (по кольцам и полям) состоит из 4 блоков по 5 задач в каждом. Домашние задания будут выдаваться на каждом семинаре, по одному блоку задач за раз.

Важно: при обнаружении двух и более одинаковых решений в работах разных студентов результаты будут аннулироваться независимо от того, кто у кого списал.

Результаты выполнения первой части домашних заданий будут отражены в оценке O_дз1, вычисляемой по формуле

O_дз1 = 0,5 * (число решённых задач из первой части).

Аналогично, работа над второй частью домашних заданий выльется в оценку O_дз2:

O_дз2 = 0,5 * (число решённых задач из второй части).

Контрольная работа

В конце модуля будет проведена письменная контрольная работа.

Экзамен

Экзамен будет устный.

Порядок формирования оценок

Накопленная оценка будет вычисляться по следующей формуле:

O_{накопленная} = 0,3 * O_дз1 + 0,3 * O_дз2 + 0,4 * O_к/р,

где O_дз1 — оценка за первое домашнее задание, O_дз2 — оценка за второе домашнее задание, O_к/р — оценка за контрольную работу.

Итоговая оценка будет выражаться через накопленную и оценку за экзамен следующим образом:

O_{итоговая} = 0,5 * O_{накопленная} + 0,5 * О_экз.

Округление будет производиться только для итоговой оценки. Способ округления — арифметический.

Конспекты лекций

В этом разделе выкладываются подготовленные И.В. Аржанцевым (и местами дополненные Р.С. Авдеевым) конспекты всех лекций курса. Содержание этих конспектов может незначительно отличаться от материала, фактически прочитанного на лекциях.

Лекция 1 (2.04.2015). Полугруппы и группы: основные определения и примеры. Группы подстановок и группы матриц. Подгруппы. Порядок элемента и циклические подгруппы. Смежные классы и индекс подгруппы. Теорема Лагранжа и её следствия

Лекция 2 (9.04.2015). Нормальные подгруппы. Факторгруппы и теорема о гомоморфизме. Центр группы. Прямое произведение групп. Факторизация по сомножителям. Разложение конечной циклической группы

Лекция 3 (16.04.2015). Конечно порождённые и свободные абелевы группы. Подгруппы свободных абелевых групп. Теорема о согласованных базисах. Алгоритм приведения целочисленной матрицы к диагональному виду

Листки с задачами

Задачи к лекции 1

Задачи к лекции 2

Ведомости текущего контроля

В ближайшее время тут появится ссылка.

Литература

• Э.Б. Винберг. Курс алгебры. М.: Факториал Пресс, 2002.
• А.И. Кострикин. Введение в алгебру. Основы алгебры. М.: Наука. Физматлит, 1994.
• А.И. Кострикин. Введение в алгебру. Основные структуры алгебры. М.: Наука. Физматлит, 2000.
• Сборник задач по алгебре под редакцией А.Н. Кострикина. Новое издание. М.: МЦНМО, 2009.