Теория вероятностей КНАД 2025/26 — различия между версиями
Материал из Wiki - Факультет компьютерных наук
| Строка 56: | Строка 56: | ||
=== Экзамен === | === Экзамен === | ||
| + | |||
| + | ==== Темы экзамена ==== | ||
| + | |||
| + | # '''Дискретные вероятностные пространства.''' <br/> ''Теория вероятностей как наука о случайных явлениях. Принцип устойчивости частот в природе. Вероятностное пространство как математическая модель эксперимента со случайными исходами. Дискретное вероятностное пространство (Ω,P). Простейшие свойства вероятности. Классическая модель вероятностного пространства, основные примеры. Условные вероятности. Формула полной вероятности и формула Байеса. Пример применения: задача о последнем пассажире в задаче о сумаcшедшей старушке. Независимость событий на вероятностном пространстве. Попарная независимость и независимость в совокупности. Пример Бернштейна. Независимость событий, связанных с последним и предпоследним пассажиром, в задаче о сумаcшедшей старушке.'' | ||
| + | # '''Условные вероятности, основные формулы. Независимость событий.''' <br/> ''Условные вероятности, основные формулы. Независимость событий.'' | ||
| + | # '''Случайные величины в дискретных вероятностных пространствах.''' <br/> ''Случайные величины в дискретных вероятностных пространствах. Распределение случайной величины, основные примеры дискретных распределений случайных величин. Независимость случайных величин. Математическое ожидание случайной величины и его основные свойства. Дисперсия случайной величины, ковариация двух случайных величин. Их основные свойства. Дисперсия суммы независимых случайных величин.'' | ||
| + | # '''Закон больших чисел. Неравенства Маркова и Чернова.''' <br/> ''Неравенства Маркова и Чебышева. Закон больших чисел и его смысл. Сходимость по вероятности и сходимость с вероятностью 1. Их эквивалентность для дискретных вероятностных пространств. Схема испытаний Бернулли. Аппроксимация биномиального распределения: теорема Пуассона и теорема Муавра-Лапласа (б/д). Интерпретация теоремы Муавра-Лапласа, как оценки скорости сходимости в законе больших чисел для схемы Бернулли. Неравенство Чернова для вероятности уклонения от среднего в схеме Бернулли. Сравнение оценок скорости убывания вероятности уклонения от среднего в схеме Бернулли по неравенству Чернова и по неравенству Чебышева.'' | ||
| + | # '''Общее понятие вероятностного пространства, сигма-алгебры.''' <br/> ''Общее понятие вероятностного пространства. Тройка Колмогорова (Ω,F,P). Вероятностные меры на прямой. Борелевская сигма-алгебра, доказательства существования. Функция распределения вероятностной меры на прямой, лемма о ее трех основных свойствах. Примеры функций распределения. Теорема Каратеодори о продолжении вероятностной меры (б/д). Взаимная однозначность функций распределения на прямой и вероятностной меры.'' | ||
| + | # '''Функции распределения на прямой и их классификация.''' <br/> ''Функции распределения на прямой, их классификация.'' | ||
| + | # '''Случайные величины, векторы и действия над ними.''' <br/> ''Случайные величины, векторы и действия над ними.'' | ||
| + | # '''Математическое ожидание в общем случае.''' <br/> ''Математическое ожидание в общем случае. Формулы подсчета математических ожиданий.'' | ||
| + | # '''Независимость случайных величин и векторов. Совместные распределения, формулы подсчета.''' <br/> ''Независимость случайных величин и векторов. Вероятностные меры в многомерном евклидовом пространстве. Совместные распределения, формулы подсчета.'' | ||
| + | # '''Сходимости случайных величин.''' <br/> ''Виды сходимостей случайных величин: с вероятностью 1, по вероятности, в среднем порядка p, по распределению. Критерий сходимости с вероятностью 1. Теорема о взаимоотношении различных видов сходимостей. Достаточное условие сходимости почти наверное для последовательности случайных величин. Усиленный закон больших чисел для случайных величин с конечным четвертым моментом. Усиленный закон больших чисел в форме Колмогорова (б/д). Смысл усиленного закона больших чисел.'' | ||
| + | # '''Предельный переход под знаком математического ожидания.'''<br/> ''Предельный переход под знаком математического ожидания. Теорема о монотонной сходимости, лемма Фату и теорема Лебега о мажорируемой сходимости.'' | ||
| + | # '''Характеристические функции случайных величин и векторов.''' <br/> ''Характеристические функции случайных величин. Их основные свойства. Примеры вычислений характеристических функций: биномиальное и экспоненциальное распределения. Пример вычисления распределения суммы независимых пуассоновских случайных величин с помощью характеристических функций. Теорема единственности для характеристических функций случайных величин. Вычисление характеристической функции для стандартной случайной величины. Следствие: распределение суммы независимых нормальных случайных величин. Формула обращения для нахождения плотности (б/д). Теорема о производных характеристической функции. Характеристические функции случайных векторов (совместная характеристическая функция). Критерий независимости набора случайных величин для характеристических функций. Теорема непрерывности для характеристических функций (б/д).'' | ||
| + | # '''Центральная предельная теорема. Сходимости случайных векторов.''' <br/> ''Метод характеристических функций. Центральная предельная теорема. Сходимости случайных векторов.'' | ||
| + | # '''Многомерное нормальное распределение.''' <br/> ''Гауссовские случайные векторы (многомерное нормальное распределение). Теорема о трех эквивалентных определениях. Следствия: смысл параметров, корректность определения, линейные преобразования. Критерий независимости компонент гауссовского вектора. Теорема о плотности гауссовского случайного вектора. Многомерная центральная предельная теорема (б/д).'' | ||
| + | # '''Условное математическое ожидание.''' <br/> ''Условное математическое ожидание: определение и явная формула для вычисления в случае, если случайная величина условие имеет дискретное распределение. Условное математическое ожидание E(X|Y=y), связь с E(X|Y). Условное распределение и условная плотность. Вычисление условного математического ожидания с помощью условной плотности (б/д). Теорема о достаточном условии существования условной плотности. Основные свойства условного математического ожидания, свойства условного математического ожидания E(X|Y=y).'' | ||
=Литература= | =Литература= | ||
Версия 02:19, 19 декабря 2025
Теория вероятностей (I - II модули)
Преподаватели и учебные ассистенты
| Группы | БКНАД241 | БКНАД242 |
|---|---|---|
| Лектор | Промыслов Платон Валерьевич | |
| Семинаристы | Косолапов Илья | Юрьева Голуба |
| Ассистенты | Король Михаил Антипович Виталий |
Судаков Илья |
| Ассистент лектора | Числова Алёна | |
Ведомость
| БКНАД241 | БКНАД242 |
|---|
Формула оценивания
Формула оценки: Итог = Округление(0.2 * ДЗ + 0.25 * КР + 0.25 * К + 0.3 * Э)
где
- ДЗ — средняя оценка за все домашние задания,
- КР — оценка за контрольную работу,
- К — оценка за коллоквиум,
- Э — оценка за экзамен.
Округление арифметическое.
ДЗ
Домашние задания сдаются в Google Classroom. Ссылка на Google Classroom находится в чате курса.
За один семестр у студента есть возможность 3 раза просрочить ДЗ ровно на 3 дня с момента самого дедлайна. На одно ДЗ можно применить лишь одну просрочку.
Автоматы
Накоп = Округление((0.2 * ДЗ + 0.25 * КР + 0.25 * К ) / 0.7)
Если Накоп >= 6 и контрольная работа написана на 5 баллов или выше, то студент может получить Накоп в качестве итоговой оценки, не приходя на экзамен.
Материалы
Контроль
Коллоквиум
Контрольная работа
Экзамен
Темы экзамена
- Дискретные вероятностные пространства.
Теория вероятностей как наука о случайных явлениях. Принцип устойчивости частот в природе. Вероятностное пространство как математическая модель эксперимента со случайными исходами. Дискретное вероятностное пространство (Ω,P). Простейшие свойства вероятности. Классическая модель вероятностного пространства, основные примеры. Условные вероятности. Формула полной вероятности и формула Байеса. Пример применения: задача о последнем пассажире в задаче о сумаcшедшей старушке. Независимость событий на вероятностном пространстве. Попарная независимость и независимость в совокупности. Пример Бернштейна. Независимость событий, связанных с последним и предпоследним пассажиром, в задаче о сумаcшедшей старушке. - Условные вероятности, основные формулы. Независимость событий.
Условные вероятности, основные формулы. Независимость событий. - Случайные величины в дискретных вероятностных пространствах.
Случайные величины в дискретных вероятностных пространствах. Распределение случайной величины, основные примеры дискретных распределений случайных величин. Независимость случайных величин. Математическое ожидание случайной величины и его основные свойства. Дисперсия случайной величины, ковариация двух случайных величин. Их основные свойства. Дисперсия суммы независимых случайных величин. - Закон больших чисел. Неравенства Маркова и Чернова.
Неравенства Маркова и Чебышева. Закон больших чисел и его смысл. Сходимость по вероятности и сходимость с вероятностью 1. Их эквивалентность для дискретных вероятностных пространств. Схема испытаний Бернулли. Аппроксимация биномиального распределения: теорема Пуассона и теорема Муавра-Лапласа (б/д). Интерпретация теоремы Муавра-Лапласа, как оценки скорости сходимости в законе больших чисел для схемы Бернулли. Неравенство Чернова для вероятности уклонения от среднего в схеме Бернулли. Сравнение оценок скорости убывания вероятности уклонения от среднего в схеме Бернулли по неравенству Чернова и по неравенству Чебышева. - Общее понятие вероятностного пространства, сигма-алгебры.
Общее понятие вероятностного пространства. Тройка Колмогорова (Ω,F,P). Вероятностные меры на прямой. Борелевская сигма-алгебра, доказательства существования. Функция распределения вероятностной меры на прямой, лемма о ее трех основных свойствах. Примеры функций распределения. Теорема Каратеодори о продолжении вероятностной меры (б/д). Взаимная однозначность функций распределения на прямой и вероятностной меры. - Функции распределения на прямой и их классификация.
Функции распределения на прямой, их классификация. - Случайные величины, векторы и действия над ними.
Случайные величины, векторы и действия над ними. - Математическое ожидание в общем случае.
Математическое ожидание в общем случае. Формулы подсчета математических ожиданий. - Независимость случайных величин и векторов. Совместные распределения, формулы подсчета.
Независимость случайных величин и векторов. Вероятностные меры в многомерном евклидовом пространстве. Совместные распределения, формулы подсчета. - Сходимости случайных величин.
Виды сходимостей случайных величин: с вероятностью 1, по вероятности, в среднем порядка p, по распределению. Критерий сходимости с вероятностью 1. Теорема о взаимоотношении различных видов сходимостей. Достаточное условие сходимости почти наверное для последовательности случайных величин. Усиленный закон больших чисел для случайных величин с конечным четвертым моментом. Усиленный закон больших чисел в форме Колмогорова (б/д). Смысл усиленного закона больших чисел. - Предельный переход под знаком математического ожидания.
Предельный переход под знаком математического ожидания. Теорема о монотонной сходимости, лемма Фату и теорема Лебега о мажорируемой сходимости. - Характеристические функции случайных величин и векторов.
Характеристические функции случайных величин. Их основные свойства. Примеры вычислений характеристических функций: биномиальное и экспоненциальное распределения. Пример вычисления распределения суммы независимых пуассоновских случайных величин с помощью характеристических функций. Теорема единственности для характеристических функций случайных величин. Вычисление характеристической функции для стандартной случайной величины. Следствие: распределение суммы независимых нормальных случайных величин. Формула обращения для нахождения плотности (б/д). Теорема о производных характеристической функции. Характеристические функции случайных векторов (совместная характеристическая функция). Критерий независимости набора случайных величин для характеристических функций. Теорема непрерывности для характеристических функций (б/д). - Центральная предельная теорема. Сходимости случайных векторов.
Метод характеристических функций. Центральная предельная теорема. Сходимости случайных векторов. - Многомерное нормальное распределение.
Гауссовские случайные векторы (многомерное нормальное распределение). Теорема о трех эквивалентных определениях. Следствия: смысл параметров, корректность определения, линейные преобразования. Критерий независимости компонент гауссовского вектора. Теорема о плотности гауссовского случайного вектора. Многомерная центральная предельная теорема (б/д). - Условное математическое ожидание.
Условное математическое ожидание: определение и явная формула для вычисления в случае, если случайная величина условие имеет дискретное распределение. Условное математическое ожидание E(X|Y=y), связь с E(X|Y). Условное распределение и условная плотность. Вычисление условного математического ожидания с помощью условной плотности (б/д). Теорема о достаточном условии существования условной плотности. Основные свойства условного математического ожидания, свойства условного математического ожидания E(X|Y=y).
Литература
Рекомендуемая основная литература
- Условные распределения.Ширяев А. Н. Вероятность. Том 1 (для дискретных пространств и базовых понятий) и Том 2 (для общего случая, математического ожидания и независимости). Классический учебник, строгое изложение с примерами.
- Гнеденко Б. В. Курс теории вероятностей. Основной учебник, охватывающий от дискретных пространств до закона больших чисел, неравенств Маркова и Чебышева, с акцентом на свойства вероятностей и случайных величин.
- Феллер В. Введение в теорию вероятностей и её приложения. Том 1. Фокус на дискретных моделях, независимости, распределениях и законе больших чисел, с множеством примеров, включая схему Бернулли.
- Вентцель Е. С. Теория вероятностей. Доступное изложение, включая условные вероятности, независимость и математическое ожидание, с практическими задачами.
Рекомендуемая дополнительная литература
- Боровков А. А. Теория вероятностей. Углублённое рассмотрение сигма-алгебр, функций распределения и многомерных пространств, с доказательствами теорем.
- Севастьянов Б. А. Курс теории вероятностей и математической статистики. Полезно для формул подсчёта ожиданий, дисперсий и аппроксимаций (Пуассон, Муавр-Лаплас).
- Росс Ш. М. Введение в теорию вероятностей (A First Course in Probability). Английский оригинал или перевод; ориентировано на вычисления, с примерами, включая неравенства Чернова.
- Митценмахер М., Упфал Э. Вероятность и вычисления: Рандомизированные алгоритмы и вероятностный анализ (Probability and Computing). Изучение теории вероятностей с акцентом на приложения в алгоритмах, симуляциях и анализе данных.
- Харчол-Балтер М. Введение в вероятность для вычислений (Introduction to Probability for Computing). Современный текст с фокусом на компьютерные науки, включая Монте-Карло и стохастические процессы.
- Блицштейн Дж., Хванг Дж. Введение в вероятность (Blitzstein J.K., Hwang J. Introduction to probability). С примерами из CS, включая независимость и закон больших чисел, доступно онлайн.
