Версия 23:53, 12 ноября 2025

Преподаватели и учебные ассистенты

Консультации

Вы можете посещать консультации, организованные как для вашей группы, так и для других групп, если не удаётся посещать свои. Таблица, в которой отмечается проведение консультаций вашими ассистентами. Вы можете следить по таблице за тем, чтобы консультации проводились вовремя, и если они вам нужны, то при необходимости напоминать ассистентам. Таблица обновляется по воскресеньям.

Аттестация и оценки

2025/2026 учебный год 2 модуль

О1 = 0,27∙О_(Кр-1) + 0,12∙О_(ИДЗ-1 и ИДЗ-2) + 0,16∙О_(Сем-1) + 0,45∙О_(Экз-1)

2025/2026 учебный год 4 модуль

О2 = 0,21∙О_(Кр-3) + 0,08∙О_(ИДЗ-3 и ИДЗ-4) + 0,12∙О_(Сем-2) + 0,24∙О_(Коллок-мод3 и Коллок-мод4) + 0,45∙О_(Экз-2)

Оценки за индивидуальные домашние задания в 1 и 2 модулях, а также в 3 и 4 модулях вычисляются как среднее арифметическое О_(ИДЗ-1(3)) и О_(ИДЗ-2(4)). Оценка за коллоквиумы в 3 и 4 модулях вычисляется как среднее арифметическое О_(Коллок-мод3) и О_(Коллок-мод4).

Прошедшие лекции

Здесь находится информация о пройденных на каждой лекции темах.

Лекция 1 (03.09.2025): Матрицы. Частные случаи матриц. Единичная матрица. Операции над матрицами: сложение, умножение на число, умножение. Примеры. Свойства операций над матрицами: сложения и умножения на скаляр, умножения. Доказательство ассоциативности умножения матриц. Замечание о некоммутативности умножения. Пример.

Лекция 2 (10.09.2025): Транспонирование и его свойства. Доказательство связи умножения и транспонирования. Элементарные преобразования строк матрицы. Представление элементарных преобразований умножением на матрицу специального вида. Пример. Ступенчатый вид матрицы и канонический (улучшенный ступенчатый) вид матрицы. Примеры. Теорема о методе Гаусса с доказательством. Системы линейных алгебраических уравнений и их связь с методом Гаусса.

Лекция 3 (17.09.2025): Перестановки и подстановки. Инверсии. Транспозиции. Знак и чётность перестановки и подстановки. Утверждение о том, что транспозиция меняет чётность перестановки. Циклическая запись. Умножение подстановок. Некоммутативность умножения. Тождественная подстановка. Обратная подстановка.

Замечание, что любая подстановка представима в виде произведения транспозиций. Замечание, что знак произведения подстановок равен произведению знаков множителей. Общая формула для определителя произвольного порядка. Вычисление определителя матрицы порядков 2 и 3, правило Саррюса.

Свойства определителя:

1. Определитель транспонированной матрицы.

2. Полилинейность. Пример.

Лекция 4 (24.09.2025):

Свойства определителя:

3. Кососимметричность.

4. Достаточные условия обнуления: нулевая строка и совпадение строк.

5. Определитель равен нулю, если строка равна линейной комбинации остальных.

6. Определитель не меняется, если к строке добавить линейную комбинацию других.

7. Значение определителя на единичной и диагональной матрице.

8. Определитель верхнетреугольной матрицы.

Замечание о том, как меняется определитель при элементарных преобразованиях строк/столбцов. 1й способ вычисления определителя приведением методом Гаусса матрицы к верхнетреугольному виду.

Утверждение об эквивалентности кососимметричности и обнуления на совпадающих аргументах для линейной функции. Утверждение о том, что любая полилинейная кососимметрическая функция является определителем, с точностью до множителя (доказательство для n=2). Второе определение детерминанта как полилинейной кососимметрической функции от столбцов, равной 1 на единичной матрице.

Лекция 5 (01.10.2025):

Свойства определителя:

9. Разложение по строке. Дополняющий минор, алгебраическое дополнение. Примеры.

10. Фальшивое разложение. Третье (индуктивное) определение детерминанта через разложение по строке.

11. Определитель блочной матрицы.

12. Определитель произведения с доказательством. Вычисление определителей с помощью элементарных преобразований и рекуррентных соотношений.

Доказательство правила Крамера. Определение обратной матрицы. Её единственность.

Лекция 6 (08.10.2025): Теорема о критерии существования обратной матрицы с доказательством. Союзная матрица. Формула для вычисления обратной матрицы. Матрица, обратная к произведению матриц, и матрица, обратная к транспонированной матрице. Вычисление обратной матрицы с помощью элементарных преобразований и по формуле. Матричные уравнения двух типов двумя способами каждый.

Минор. Ранг матрицы. Базисный минор. Примеры. Два свойства ранга матрицы: ранг транспонированной матрицы (с доказательством) и поведение ранга при элементарных преобразованиях. Ранг ступенчатой матрицы.

Лекция 7 (15.10.2025): Линейная зависимость строк (столбцов). Линейно независимые строки (столбцы). Примеры. Критерий линейной зависимости с доказательством. Пример.

Теорема о базисном миноре с доказательством. Пример. Следствия теоремы о базисном миноре: теорема о ранге матрицы с доказательством (эквивалентное определение ранга), критерий невырожденности квадратной матрицы с доказательством.

Лекция 8 (22.10.2025): Вычисление ранга матрицы (элементарные преобразования и метод окаймляющих миноров). Теорема об окаймляющих минорах с доказательством. СЛАУ, совместная, однородная, неоднородная СЛАУ. Свойства решений СЛАУ. Следствие о том, каким может быть множество решений СЛАУ (несовместная, определённая и неопределённая СЛАУ). Теорема Кронекера-Капелли (критерий совместности) с доказательством.

Лекция 9 (05.11.2025): Пример на совместность СЛАУ. Однородные СЛАУ. Фундаментальная система решений. Теорема о существовании ФСР. Критерий существования ненулевого решения у однородной квадратной СЛАУ (следствие из теоремы о существовании ФСР). Теорема о структуре общего решения однородной СЛАУ (начало доказательства).

Литература

Учебники

• А.И. Кострикин. Введение в алгебру. Часть I. Основы алгебры. М.: Физматлит, 1994
• А.И. Кострикин. Введение в алгебру. Часть II. Линейная алгебра. М.: Физматлит, 2000
• А.И. Кострикин. Введение в алгебру. Часть III
• В.А. Ильин, Г.Д. Ким. Линейная алгебра и аналитическая геометрия. 3-е издание

Сборники задач

• И.В. Проскуряков. Сборник задач по линейной алгебре (любое издание, например М.: БИНОМ, 2005)
• Сборник задач по алгебре под редакцией А.Н. Кострикина. Новое издание. М.: МЦНМО, 2009
• Г.Д. Ким, Л.В. Крицков. Алгебра и аналитическая геометрия. Теоремы и задачи. Том I. М.: "Планета знаний", 2007
• Г.Д. Ким, Л.В. Крицков. Алгебра и аналитическая геометрия. Теоремы и задачи. Том II, часть 2. М.: ИКД "Зерцало-М", 2003