Теория вероятностей ДРИП 25/56 — различия между версиями

Версия 13:57, 24 сентября 2025

Преподаватели и учебные ассистенты

Краткое содержание лекций

Лекция 1 (Конспект) Элементы комбинаторики

Лекция 2 (Конспект) Эксперимент. Событие. Операции над событиями. Понятие вероятности. Классическая формула подсчета вероятности и общий аксиоматический подход Колмогорова.

Лекция 3 (Конспект) Условная вероятность. Определение независимости событий. Формула полной вероятности и формула Байеса.

Программа курса

1. Элементы комбинаторики. Правило произведения. Число перестановок, число сочетаний и число размещений. Примеры.
2. Эксперимент. Случайность. Событие. Операции над событиями: сложение, умножение, взятие противоположного события. Понятия невозможного, достоверного и несовместных событий. Свойства операций над событиями. Вероятность события как количественная оценка степени ожидания того, что событие произойдёт при проведении эксперимента.
3. Определение вероятности в случае, когда результаты эксперимента могут быть описаны с помощью конечного числа равноожидаемых событий, никакие два из которых не могут произойти одновременно (классическая формула подсчета вероятности).
4. Геометрический подход к определению вероятности, когда результаты эксперимента могут быть описаны с помощью континуума равноожидаемых несовместных событий. Формула для вероятности суммы конечного числа событий. Понятие вероятностного пространства и общий аксиоматический подход А. Н. Колмогорова к определению вероятности.
5. Условная вероятность. Определение независимости событий. Формула полной вероятности и формула Байеса.
6. Схема независимых испытаний Бернулли. Формула Бернулли. Обобщённая формула Бернулли. Асимптотика формулы Бернулли: локальная теорема Муавра-Лапласа, интегральная теорема Муавра-Лапласа, теорема Пуассона.
7. Определения случайной величины и её функции распределения. Дискретные и непрерывные случайные величины. Свойства функции распределения. Определение понятия независимости случайных величин. Основные дискретные распределения: биномиальное, геометрическое, Пуассона.
8. Определение плотности распределения для непрерывных случайных величин. Смысл и свойства плотности распределения. Основные непрерывные распределения: равномерное на отрезке, показательное (экспоненциальное), нормальное (гауссовское), логарифмически нормальное (логнормальное).
9. Математическое ожидание случайной величины. Свойства математического ожидания. Математические ожидания основных дискретных и непрерывных распределений.
10. Условное математическое ожидание. Аналог формулы полной вероятности для математического ожидания случайной величины.
11. Дисперсия случайной величины. Свойства дисперсии. Дисперсии основных дискретных и непрерывных распределений.
12. Характеристическая функция случайной величины. Выражение моментов случайной величины, в частности, математического ожидания и дисперсии, через значения характеристической функции и её производных.
13. Система случайных величин. Функция и (в непрерывном случае) плотность совместного распределения системы случайных величин, их свойства. Ковариация и коэффициент корреляции случайных величин.
14. Неравенство Чебышёва. Правило трёх сигм. Закон больших чисел: теорема Чебышёва и теорема Бернулли, их интерпретации. Центральная предельная теорема в форме Ляпунова.
15. Сходимость последовательностей случайных величин: почти наверное, в среднеквадратичном, по вероятности, по распределению. Соотношения между различными типами сходимости.

Критерии оценки

В течение семестра каждый студент должен будет выполнить два домашних задания (в каждом предполагается 10-15 задач) и написать одну аудиторную контрольную работу.

За посещение семинарского занятия студент получает 1 балл при условии, что он присутствовал на всём занятии, слушал преподавателя и делал соответствующие аккуратные конспективные записи в тетради. Таким образом, студент, посетивший все семинары, наберёт 14 баллов.

За полностью правильно решённое и надлежащим образом оформленное (т. е. с объяснениями и необходимыми комментариями, в частности, если в процессе решения используется какой-либо теоретический результат, последний должен быть сформулирован) домашнее задание студент получает 10 баллов. Таким образом, за два домашних задания можно набрать 20 баллов. Сдача задания предполагает беседу преподавателя со студентом, во время которой преподаватель может попросить студента воспроизвести (без подглядывания в тетрадь) решение какой-либо задачи из задания или решить подобную задачу, задать вопросы по теории. Учебный ассистент может участвовать в приёме домашнего задания, но за балльную оценку ответственность несёт семинарист.

Максимальное число баллов, которое может быть поставлено за аудиторную контрольную работу (к.р.), равно 16. При проверке работы семинарист может использовать помощь учебного ассистента, но, как и в случае с домашним заданием, за балльную оценку ответственность несёт семинарист. Число предложенных задач и критерии оценки за к.р. будут определены позже.

Таким образом, за работу в семестре студент может набрать 50 баллов. Максимальный балл, который можно получить за экзамен, тоже составит 50 баллов. Экзамен письменный (более подробно – ближе к экзамену).

В результате за работу в семестре и экзамен студент получит суммарную оценку по 100-балльной шкале. Затем эта оценка переводится в оценку по 10-бальной шкале по следующим правилам:

• 95-100 - оценка 10
• 85-94 - оценка 9
• 75-84 - оценка 8
• 65-74 - оценка 7
• 55-64 - оценка 6
• 45-54 - оценка 5
• 35-44 - оценка 4
• 25-34 - оценка 3
• 15-24 - оценка 2
• 5-14 - оценка 1
• 0-4 - оценка 0

Литература

1. Гнеденко Б. В. Курс теории вероятностей. М.: Наука, 1988. [Прим. 1]
2. Колмогоров А. Н. Основные понятия теории вероятностей. М.: Наука, 1974. [Прим. 1]
3. Феллер В. Введение в теорию вероятностей и её приложения, в 2-х томах. М.: Мир, 1984. [Прим. 1]
4. Боровков А. А. Теория вероятностей. М.: Наука, 1976. [Прим. 1]
5. Розанов Ю. А. Теория вероятностей, случайные процессы и математическая статистика. М.: Наука, 1985. [Прим. 1]
6. Прохоров Ю. В., Прохоров А. В. Курс лекций по теории вероятностей и математической статистике. М.: МЦНМО, 2019.
7. Семаков С. Л. Элементы теории вероятностей и случайных процессов. М.: Физматлит, 2011.

Примечание 1. Может быть использовано любое более позднее издание книги, выпущенное, в том числе, и другим издательством.