Версия 02:39, 17 июня 2025

Канал курса в телеграм

Преподаватели и учебные ассистенты

Расписание консультаций

^*Если хотите прийти на консультацию, надо обязательно предварительно связаться с соответствующим преподавателем / ассистентом.

Порядок формирования оценок

Итоговая оценка выражается следующим образом:

O_{итоговая} = 0,25 * О_дз + 0,1 * О_лаб + 0,25 * О_к/р + 0,4 * О_экз.

Округление производится для итоговой оценки. Способ округления — арифметический.

Краткое содержание лекций

В этом разделе выложены конспекты всех лекций курса. Содержание этих конспектов может незначительно отличаться от материала, фактически прочитанного на лекциях.

• Лекция 1 (01.04.2025) Полугруппы и группы: основные определения и примеры. Группы матриц и группы подстановок. Подгруппы. Классификация подгрупп в группе (Z,+). Циклические подгруппы и порядок элемента. Циклические группы.

• Лекция 2 (03.04.2025) Смежные классы и индекс подгруппы. Теорема Лагранжа и её следствия. Нормальные подгруппы. Факторгруппы. Гомоморфизмы и изоморфизмы. Классификация циклических групп.

• Лекция 3 (04.04.2025) Ядро и образ гомоморфизма. Теорема о гомоморфизме. Центр группы. Прямое произведение групп. Факторизация по сомножителям. Разложение конечной циклической группы.

• Лекция 4 (08.04.2025) Конечно порождённые и свободные абелевы группы. Ранг свободной абелевой группы. Характеризация базисов. Подгруппы свободных абелевых групп.

• Лекция 5 (11.04.2025) Теорема о согласованных базисах. Алгоритм приведения целочисленной матрицы к диагональному виду. Факторгруппа решётки по подрешётке. Строение конечно порождённых абелевых групп. Конечные абелевы группы. Экспонента конечной абелевой группы. Критерий цикличности.

• Лекция 6 (18.04.2025) Действие группы на множестве. Орбиты и стабилизаторы. Транзитивные, свободные и эффективные действия. Три действия группы на себе. Классы сопряжённости. Изоморфизм действий. Теорема Кэли.

• Лекция 7 (25.04.2025) Кольца. Примеры колец. Обратимые элементы, делители нуля, нильпотенты и идемпотенты. Поля и алгебры. Идеалы. Главные идеалы. Факторкольца и теорема о гомоморфизме для колец.

• Лекция 8 (29.04.2025) Центр и простота алгебры матриц над полем. Симметрические многочлены. Основная теорема о симметрических многочленах. Лексикографический порядок. Лемма о старшем члене.

• Лекция 9 (27.05.2025) Доказательство основной теоремы о симметрических многочленах. Теорема Виета. Дискриминант многочлена. Системы полиномиальных уравнений. Случай систем линейных уравнений. Идеал системы и эквивалентность систем. Формулировка теоремы Гильберта о базисе и леммы Диксона.

• Лекция 10 (30.05.2025) Задача о принадлежности многочлена идеалу. Алгоритм деления. Оператор редукции. Нормальная форма многочлена. Базис Грёбнера. S-многочлены и формулировка критерия Бухбергера.

• Лекция 11 (02.06.2025) Доказательство критерия Бухбергера. Алгоритм Бухбергера. Минимальный базис Грёбнера, его существование и единственность. Задачи о принадлежности идеалу и совпадении двух идеалов.

• Лекция 12 (03.06.2025) Радикал идеала. Теорема Гильберта о нулях. Задачи о наличии решения, принадлежности радикалу, эквивалентности систем и конечности числа решений.

• Лекция 13 (06.06.2025) Нётеровы кольца и условие обрыва возрастающих цепочек идеалов. Доказательства леммы Диксона и теоремы Гильберта о базисе. Теорема Гильберта о нулях и её слабая форма.

• Лекция 14 (09.06.2025) Примеры полей. Характеристика поля. Расширения полей, алгебраические и трансцендентные элементы. Минимальный многочлен. Конечное расширение и его степень. Присоединение корня многочлена. Поле разложения многочлена: существование и единственность.

• Лекция 15 (10.06.2025) Конечные поля. Простое подполе и порядок конечного поля. Автоморфизм Фробениуса. Теорема существования и единственности для конечных полей. Поле из четырех элементов. Цикличность мультипликативной группы. Реализация конечного поля как факторкольца. Неприводимые многочлены над конечным полем. Подполя конечного поля.

Листки с задачами

Листок с задачами содержит в себе домашнее задание.

• Листок 1

• Листок 2

• Листок 3

• Листок 4

• Листок 5

• Листок 6

• Листок 7

• Листок 8

• Листок 9

• Листок 10

Лабораторные

Лабораторная 1: задание и вся информация доступны по ссылке. Дедлайн 20 мая в 23:59.

Лабораторная 2: задание и вся информация доступны по ссылке. Дедлайн 19 июня в 23:59.

Итоговая оценка за лабораторные равна среднему арифметическому оценок за две лабораторные.

Контрольная работа

Контрольная работа запланирована на 11 июня (с 16:20 до 18:20). Распределение по аудиториям: R201: 241+244, R401: 243+245, R404: 242.

Работа проводится письменно и включает в себя 6 задач. На решение задач отводится 120 минут. Во время контрольной запрещено использование средств связи и материалов.

Экзамен

Экзамен состоится 25 мая, аудитория R504.

Регламент экзамена

Программа курса

[Список вопросов]

Ведомости текущего контроля

Куда сдавать домашние задания

Номер группы определяется ведомостью (см. выше).

• 241: Classroom
• 242: Classroom
• 243: Classroom
• 244: Classroom
• 245: Classroom
• Лабораторные: Classroom

Литература

• Э.Б. Винберг. Курс алгебры. М.: Факториал Пресс, 2002.
• А.И. Кострикин. Введение в алгебру. Основы алгебры. М.: Наука. Физматлит, 1994.
• А.И. Кострикин. Введение в алгебру. Основные структуры алгебры. М.: Наука. Физматлит, 2000.
• Сборник задач по алгебре под редакцией А.Н. Кострикина. Новое издание. М.: МЦНМО, 2009.