Линейная алгебра и геометрия на ПМИ 2017/2018 (пилотный поток) — различия между версиями
Maduar (обсуждение | вклад) (Добавлены ведомости текущего контроля) |
(→Краткое содержание лекций) |
||
Строка 52: | Строка 52: | ||
'''Лекция 8''' (7.11.2017). Подпространство в линейном пространстве. Пространство нулей (ядро) матрицы. Линейные комбинации, линейная оболочка. Линейная зависимость. Две леммы о линейной зависимости. Понятие базиса и размерности линейного пространства. | '''Лекция 8''' (7.11.2017). Подпространство в линейном пространстве. Пространство нулей (ядро) матрицы. Линейные комбинации, линейная оболочка. Линейная зависимость. Две леммы о линейной зависимости. Понятие базиса и размерности линейного пространства. | ||
− | ''' | + | '''Лекция 9''' (14.11.2017). Доказательство второй леммы о линейной зависимости. Доказательство существования базиса в любом конечно порожденном пространстве, два способа построения такого базиса. Корректность определения размерности. Фундаментальная система решений системы линейных однородных уравнений как базис пространства нулей матрицы системы. |
+ | |||
+ | '''На следующих лекциях''': свойства ранга матрицы, размерность линейного многообразия и ее связь с рангом матрицы соответствующей линейной системы, размерность суммы и пересечения линейных пространств. | ||
== Формы контроля знаний студентов == | == Формы контроля знаний студентов == |
Версия 21:03, 15 ноября 2017
Содержание
Преподаватели и учебные ассистенты
Группа | БПМИ171 | БПМИ172 |
---|---|---|
Лектор | Дмитрий Игоревич Пионтковский | |
Семинарист | Всеволод Леонидович Чернышев | Дмитрий Игоревич Пионтковский |
Ассистент | Мария Конькова | Максим Кузнецов |
Расписание консультаций
Преподаватель/ассистент | понедельник | вторник | среда | четверг | пятница | |
---|---|---|---|---|---|---|
|
Дмитрий Игоревич Пионтковский | 15:30–16:30, ауд. 507 | 15:30–16:30, ауд. 507 | 15:10–16:40, ауд. 5413 | ||
|
Всеволод Леонидович Чернышев | 16:40–18:00, ауд. 622 | ||||
|
Мария Конькова | 15:10–16:30, ауд. 219 | ||||
|
Максим Кузнецов | 15:10–16:30, ауд. 304 | ||||
|
Дарина Мадуар | 12:10–13:30, ауд. 511 |
Объявления, касаемые консультаций, будут дублировать в канале.
Краткое содержание лекций
Лекция 1 (7.09.2017). Многомерные векторы, арифметическое пространство R^n. Прямая в пространстве R^n, понятие линейного многообразия. Операции над многомерными векторами: сложение, скалярное произведение. Основные свойства арифметических операций над векторами. Длина вектора. Неравенство Коши. Угол между векторами.
Лекция 2 (21.09.2017). Матрицы, операции над ними: сложение, умножение на число, транспонирование, умножение матриц. Матричная форма записи системы линейных уравнений. Основные свойства матричных операций. Доказательство ассоциативности умножения матриц с помощью леммы о двойных суммах.
Лекция 3 (28.09.2017). Элементарные преобразования строк матрицы, матрицы элементарных преобразований. Сохранение множества решений системы линейных уравнений при элементарных преобразованиях расширенной матрицы системы. Ступенчатый и канонический виды матрицы. Метод Гаусса (Жордана--Гаусса) приведения матриц к каноническому виду и решения систем линейных уравнений. Свободные и главные переменные. Единственность канонического вида матрицы.
Лекция 4 (5.10.2017). Ориентированная площадь параллелограма, ее основные свойства и связь с решениями систем линейных уравнений. Подстановки. Число инверсий и знак подстановки. Определитель квадратной матрицы. Определитель треугольной матрицы, поведение определителя при умножении строки матрицы на число.
Лекция 5 (10.10.2017). Линейность определителя как функции от строк матрицы. Разложения подстановки в произведение транспозиций. Знак транспозиции и знак произведения подстановок. Знак обратной подстановки. Определитель транспонированной матрицы. Кососимметрическая функция. Пример: определитель как кососимметрическая функция от строк (или столбцов) матрицы. Поведение определителя при элементарных преобразованиях строк (и столбцов). Три определения невырожденной матрицы (через определитель, через канонический вид и через соответствующую систему линейных уравнений) и их эквивалентность.
Лекция 6 (17.10.2017). Определитель как полилинейная функция от строк (или столбцов) матрицы. Метод Крамера решения системы линейных уравнений. Теорема о виде полилинейной кососимметрической функции от строк квадратной матрицы. Аксиоматическое задание определителя как функции такого вида, принимающей значение 1 на единичной матрице. Определитель матрицы с углом нулей, определитель произведения матриц. Формула разложения определителя по строке или столбцу.
Лекция 7 (31.10.2017). Обратная матрица. Существование и единственность обратной матрицы у невырожденной матрицы. Формула обратной матрицы. Лемма о фальшивом разложении.
Определение линейного пространства.
Лекция 8 (7.11.2017). Подпространство в линейном пространстве. Пространство нулей (ядро) матрицы. Линейные комбинации, линейная оболочка. Линейная зависимость. Две леммы о линейной зависимости. Понятие базиса и размерности линейного пространства.
Лекция 9 (14.11.2017). Доказательство второй леммы о линейной зависимости. Доказательство существования базиса в любом конечно порожденном пространстве, два способа построения такого базиса. Корректность определения размерности. Фундаментальная система решений системы линейных однородных уравнений как базис пространства нулей матрицы системы.
На следующих лекциях: свойства ранга матрицы, размерность линейного многообразия и ее связь с рангом матрицы соответствующей линейной системы, размерность суммы и пересечения линейных пространств.
Формы контроля знаний студентов
- Контрольная работа
- Большие домашние задания
- Устная сдача задач из листков
- Активность и работа на семинарах
- Коллоквиум
- Экзамен
Порядок формирования итоговой оценки
2-й модуль
Накопленная оценка вычисляется по следующей формуле:
Oнакопленная = 0,2 * Oк/р + 0,1 * Oд/з + 0,2 * Oл + 0,4 * Околл + 0,1 * Oсем,
где Oк/р — оценка за контрольную работу по итогам первого модуля, Oд/з — оценка за индивидуальные домашние задания, Oл — оценка за сдачу задач из листков, Околл — оценка за коллоквиум и Oсем — оценка за работу на семинарах.
Итоговая оценка будет выражаться через (не округленную) накопленную оценку и оценку за экзамен следующим образом:
Oитоговая = 0,8 * Oнакопленная + 0,2 * Оэкз.
Способ округления итоговой оценки: результат между 3 и 4 округляется до 3, во всех остальных случаях оценка заменяется ближайшим целым числом из интервала от 1 до 10.
Ведомости текущего контроля
1-2 модули
Результаты сдачи задач из листков
171 |
---|
Литература
Учебники
- А.И. Кострикин. Введение в алгебру. Часть I. Основы алгебры. М.: Физматлит, 1994
- А.И. Кострикин. Введение в алгебру. Часть II. Линейная алгебра. М.: Физматлит, 2000
- Э.Б. Винберг. Курс алгебры. М.: Факториал, 1999 (или любое последующее издание)
- И.М. Гельфанд. Лекции по линейной алгебре (любое издание, кроме 1-го, например М.: Добросвет, МЦНМО, 1998)
Сборники задач
- И.В. Проскуряков. Сборник задач по линейной алгебре (любое издание, например М.: БИНОМ, 2005)
- Сборник задач по алгебре под редакцией А.Н. Кострикина. Новое издание. М.: МЦНМО, 2009.
- Г.Д. Ким, Л.В. Крицков. Алгебра и аналитическая геометрия. Теоремы и задачи. Том I. М.: "Планета знаний", 2007.