Линейная алгебра и геометрия 2016/2017 — различия между версиями

Версия 23:16, 26 января 2017

Преподаватели и учебные ассистенты

Расписание консультаций

Формы контроля знаний студентов

• Контрольная работа
• Большие домашние задания
• Устная сдача задач из листков
• Активность и работа на семинарах
• Коллоквиум
• Экзамен

Информация для пилотного потока

Краткое содержание лекций

Лекция 1 (6.09.2016). Геометрия n-мерного арифметического пространства.

Лекция 2 (13.09.2016). Матрицы и основные операции над ними.

Лекция 3 (20.09.2016). Элементарные преобразования строк матриц. Решение системы линейных уравнений методом Гаусса.

Лекция 4 (27.09.2016). Существование и единственность канонического вида матрицы. Обратная матрица.

Лекция 5 (4.10.2016). Обратимость невырожденных матриц. Линейное пространство. Подпространства, линейные оболочки.

Лекция 6 (11.10.2016). Линейная зависимость. Базис и размерность линейного пространства.

Лекция 7 (18.10.2016). Столбцовый и строчный ранг матрицы, теорема об их равенстве. Размерность пространства решений однородной системы линейных уравнений, фундаментальная система решений.

Лекция 8 (1.11.2016). Теорема Кронекера-Капелли. Размерность линейного многообразия. Сумма и пересечение подпространств, связь между их размерностями.

Лекция 9 (8.11.2016). Координаты вектора в заданном базисе. Изоморфизм. Теорема о том, что все пространства одной конечной размерности изоморфны друг другу.

Лекция 10 (15.11.2016). Матрица перехода между двумя базисами. Формула замены координат. Определитель матрицы порядка 2, ориентированная площадь. Подстановки. Знак подстановки. Определитель квадратной матрицы.

Лекция 11 (22.11.2016). Определитель треугольной матрицы. Определитель как полилинейная функция строк. Умножение подстановок. Изменение знака подстановки при умножении на транспозицию. Поведение определителя при элементарных преобразованиях строк матрицы.

Лекция 12 (29.11.2016). Определитель как единственная полилинейная кососимметрическая функция строк матрицы, равная 1 на единичной матрице. Определитель произведения матриц. Определитель с углом нулей. Формула разложения определителя по строке. Знак произведения подстановок и знак обратной подстановки. Определитель транспонированной матрицы.

Лекция 13 (6.12.2016). Приложения определителей: формулы Крамера решения определенной системы линейных уравнений; формула обратной матрицы; определение ранга матрицы через миноры (ранг Фробениуса).

Лекция 14 (13.12.2016). Комплексные числа.

Лекция 15 (10.01.2017). Поле. Примеры полей. Линейные пространства над полем. Комплексификация и овеществление. Линейное отображение и линейный оператор: определение и геометрические примеры.

Лекция 16 (17.01.2017). Новые примеры линейных отображений. Множество линейных отображений Hom(U,V) как линейное пространство. Линейные функционалы и двойственное пространство. Понятие двойственного базиса, размерность двойственного пространства. Идея теории категорий, категория линейных пространств. Контравариантные и ковариантные функторы. Матрица линейного отображения: эквивалентность двух определений. Размерность линейного пространства Hom(U,V).

Лекция 17 (24.01.2017). Матрица композиции линейных отображений. Матрица изоморфизма. Замена координат и матрица линейного отображения. Замена координат в двойственном пространстве, понятие ковектора. Ядро и образ линейного отображения, их связи с матрицей линейного отображения. Короткая точная последовательность. Ранг и определитель линейного оператора. Инвариантные пространства линейного оператора, инвариантность его ядра и образа. Прямая сумма нескольких подпространств. Матрица линейного оператора в базисе, часть которого порождает инвариантное подпространство или прямую сумму таких подпространств. Одномерные инвариантные подпространства, собственные векторы и собственные значения. Собственные подпространства, их инвариантность. Характеристический многочлен линейного оператора.

Лекция 18 (31.01.2017). Определитель, след и характеристический многочлен как инварианты линейного оператора. Кратности и количество корней комплексного многочлена. Формулы Виета. Связь определителя и следа комплексного оператора с собственными значениями. Диагонализуемые операторы. Оператор дифференцирования многочленов как пример не диагонализуемого оператора.

Лекция 19 (7.02.2017). Корневые векторы и корневые подпространства. Теорема о разложении пространства в прямую сумму корневых подпространств. Теорема Гамильтона--Кэли.

Порядок формирования итоговой оценки для пилотного потока

2-й модуль

Накопленная оценка вычисляется по следующей формуле:

O_{накопленная} = 0,2 * O_к/р + 0,1 * O_д/з + 0,3 * O_л + 0,4 * О_колл + 0,1 * O_сем,

где O_к/р — оценка за контрольную работу по итогам первого модуля, O_д/з — оценка за индивидуальные домашние задания, O_л — оценка за сдачу задач из листков, О_колл — оценка за коллоквиум и O_сем — оценка за работу на семинарах.

Итоговая оценка будет выражаться через (не округленную) накопленную оценку и оценку за экзамен следующим образом:

O_{итоговая} = 0,8 * O_{накопленная} + 0,2 * О_экз.

Способ округления итоговой оценки: результат между 3 и 4 округляется до 3, во всех остальных случаях оценка заменяется ближайшим целым числом из интервала от 1 до 10.

4-й модуль

Информация для основного потока

Порядок формирования итоговой оценки

2-й модуль

Накопленная оценка будет вычисляться по следующей формуле:

O_{накопленная} = 0,2 * O_к/р + 0,2 * O_д/з + 0,2 * O_л + 0,4 * О_колл + 0,1 * O_сем,

где O_к/р — оценка за контрольную работу, O_д/з — оценка за большие домашние задания, O_л — оценка за сдачу задач из листков, О_колл — оценка за коллоквиум и O_сем — оценка за работу на семинарах.

Итоговая оценка будет выражаться через накопленную оценку и оценку за экзамен следующим образом:

O_{итоговая} = 0,75 * O_{накопленная} + 0,25 * О_экз.

В этой формуле используется неокруглённое значение накопленной оценки.

Способ округления итоговой оценки: результат между 3 и 4 округляется до 3, во всех остальных случаях округление арифметическое.

4-й модуль

Формулы для вычисления накопленной и итоговой оценок, а также правила их округления такие же, как во 2-м модуле.

Краткое содержание лекций

1-2 модули

Лекция 1 (5.09.2016). Системы линейных уравнений. Совместные и несовместные системы линейных уравнений. Эквивалентные системы системы линейных уравнений. Расширенная матрица системы линейных уравнений. Элементарные преобразования системы линейных уравнений и соответствующие преобразования строк её расширенной матрицы. Сохранение множества решений системы линейных уравнений при элементарных преобразованиях.

Лекция 2 (12.09.2016). Ступенчатые матрицы. Улучшенный ступенчатый (канонический) вид матрицы. Приведение матрицы к ступенчатому виду элементарными преобразованиями строк. Приведение ступенчатой матрицы к улучшенному ступенчатому виду элементарными преобразованиями строк. Метод Гаусса решения систем линейных уравнений. Главные и свободные неизвестные. Общее решение системы линейных уравнений. Однородные системы линейных уравнений. Существование ненулевого решения у однородной системы линейных уравнений, у которой число неизвестных больше, чем число уравнений.

Лекция 3 (19.09.2016). Матрицы. Равенство матриц. Операции сложения и умножения на скаляр для матриц, свойства этих операций. Пространство R^n, его отождествление с матрицами-столбцами высоты n. Транспонирование матриц, его простейшие свойства. Умножение матриц, примеры. Матричная форма записи системы линейных уравнений.

Лекция 4 (26.09.2016). Основные свойства умножения матриц. Некоммутативность умножения матриц. Диагонали квадратной матрицы. Диагональные матрицы. Умножение на диагональную матрицу. Единичная матрица. Матричные единицы. Умножение на матричную единицу. Реализация элементарных преобразований строк матрицы при помощи умножения слева на подходящую матрицу.

Лекция 5 (3.10.2016). След квадратной матрицы и его свойства. Перестановки и подстановки. Инверсии. Знак и чётность подстановки. Произведение подстановок. Ассоциативность произведения подстановок. Тождественная подстановка. Обратная подстановка. Знак обратной подстановки. Транспозиции, элементарные транспозиции. Изменение знака подстановки при умножении справа на элементарную транспозицию.

Лекция 6 (10.10.2016). Изменение знака подстановки при умножении справа на произвольную транспозицию. Разложение подстановки в произведение транспозиций, а также в произведение элементарных транспозиций. Теорема о знаке произведения подстановок. Определитель квадратной матрицы. Определители порядков 2 и 3. Определитель транспонированной матрицы. Определитель матрицы со строкой (столбцом) нулей. Поведение определителя при умножении строки (столбца) на число и при разложении строки (столбца) в сумму двух строк (столбцов).

Лекция 7 (17.10.2016). Поведение определителя при перестановке двух строк (столбцов). Определитель матрицы, содержащей две одинаковых строки (два одинаковых столбца). Поведение определителя при прибавлении к строке (столбцу) другой, умноженной на число. Верхнетреугольные и нижнетреугольные матрицы, их определители. Определитель с углом нулей. Определитель произведения матриц.

Лекция 8 (31.10.2016). Дополнительные миноры и алгебраические дополнения к элементам квадратной матрицы. Разложение определителя по строке (столбцу). Лемма о фальшивом разложении определителя. Обратная матрица, её единственность. Невырожденные матрицы. Определитель обратной матрицы. Присоединённая матрица. Критерий обратимости квадратной матрицы, явная формула для обратной матрицы. Следствия из критерия обратимости. Матричные уравнения вида AX=B и XA=B, где A -- невырожденная квадратная матрица; единственность решения, нахождение решения при помощи элементарных преобразований. Вычисление обратной матрицы при помощи элементарных преобразований.

Лекция 9 (7.11.2016). Формулы Крамера. Понятие поля. Простейшие примеры. Построение поля комплексных чисел. Алгебраическая форма комплексного числа, его действительная и мнимая части. Комплексное сопряжение. Геометрическая модель комплексных чисел, интерпретация сложения и сопряжения в этой модели. Модуль комплексного числа, его свойства.

Лекция 10 (14.11.2016). Аргумент комплексного числа. Тригонометрическая форма комплексного числа. Умножение, деление и возведение в степень комплексных чисел в тригонометрической форме. Формула Муавра. Извлечение корней из комплексных чисел. Основная теорема алгебры комплексных чисел (без доказательства). Теорема Безу. Кратность корня многочлена. Теорема о том, что всякий многочлен степени n с комплексными коэффициентами имеет ровно n корней с учётом кратностей.

Лекция 11 (21.11.2016). Векторные пространства, простейшие следствия из аксиом. Подпространства векторных пространств. Свойство множества решений однородной системы линейных уравнений. Линейная комбинация конечного набора векторов. Линейная оболочка подмножества векторного пространства и её свойство. Конечномерные и бесконечномерные векторные пространства.

Лекция 12 (28.11.2016). Линейно зависимые и линейно независимые системы векторов. Критерий линейной зависимости конечного набора векторов. Основная лемма о линейной зависимости. Базис векторного пространства, координаты вектора в базисе. Базис как линейно независимая порождающая система. Существование базиса у конечномерного векторного пространства. Независимость числа элементов в базисе векторного пространства от выбора базиса. Размерность конечномерного векторного пространства. Лемма о добавлении вектора к конечной линейной независимой системе.

Лекция 13 (5.12.2016). Эквивалентные условия, определяющие конечномерное векторное пространство размерности n. Дополнение до базиса произвольной линейно независимой системы векторов конечномерного векторного пространства. Размерность подпространства конечномерного векторного пространства. Фундаментальная система решений однородной системы линейных уравнений. Метод построения фундаментальной системы решений. Ранг системы векторов. Связь ранга системы векторов с размерностью её линейной оболочки. Ранг матрицы: столбцовый и строковый. Сохранение линейных зависимостей между столбцами матрицы при элементарных преобразованиях строк.

Лекция 14 (12.12.2016). Инвариантность столбцового и строкового рангов матрицы при элементарных преобразованиях строк и столбцов. Столбцовый и строковый ранги матрицы, имеющей улучшенный ступенчатый вид. Равенство столбцового и строкового рангов матрицы. Связь ранга квадратной матрицы с её определителем. Подматрицы. Связь рангов матрицы и её подматрицы. Миноры. Теорема о ранге матрицы. Теорема Кронекера-Капелли. Критерий существования единственного решения у совместной системы линейных уравнений в терминах ранга её матрицы коэффициентов. Критерий существования единственного решения у системы линейных уравнений с квадратной матрицей коэффициентов в терминах её определителя. Размерность пространства решений однородной системы линейных уравнений в терминах ранга её матрицы коэффициентов.

3-4 модули

Лекция 15 (19.12.2016). Сумма двух подпространств векторного пространства. Связь размерностей двух подпространств с размерностями их суммы и пересечения. Сумма нескольких подпространств векторного пространства. Линейно независимые подпространства, пять эквивалентных условий. Разложение векторного пространства в прямую сумму нескольких подпространств. Описание всех базисов конечномерного векторного пространства в терминах одного базиса и матриц координат. Матрица перехода от одного базиса конечномерного векторного пространства к другому.

Лекция 16 (16.01.2017). Формула преобразования координат вектора при замене базиса. Линейные отображения векторных пространств. Примеры. Изоморфизм векторных пространств. Отображение, обратное к изоморфизму. Изоморфные векторные пространства. Композиция двух линейных отображений, композиция двух изоморфизмов. Отношение изоморфности на множестве всех векторных пространств. Классы изоморфизма векторных пространств. Критерий изоморфности двух конечномерных векторных пространств.

Лекция 17 (23.01.2017). Задание линейного отображения путём задания образов векторов фиксированного базиса. Матрица линейного отображения. Примеры. Связь координат вектора и его образа при линейном отображении. Формула изменения матрицы линейного отображения между векторными пространствами V и W при замене их базисов. Операции сложения и умножения на скаляр на множестве всех линейных отображений между двумя векторными пространствами. Матрица суммы двух линейных отображений и произведения линейного отображения на скаляр. Изоморфизм между пространством Hom(V,W) и пространством (m x n)-матриц, где n = dim V, m = dim W. Матрица композиции двух линейных отображений.

Листки с задачами

Правила сдачи и оценивания задач из листков:

• каждый пункт в листке считается отдельной задачей
• сдача задачи возможна только при наличии её решения в письменном виде
• результатом сдачи одной задачи может быть 0 или 1

Листок 1. Матричные алгебры Ли

Сроки сдачи листка 1:

до 6 ноября включительно разрешается сдавать любое количество задач;

с 7 по 13 ноября включительно одному студенту разрешается сдать не более шести задач;

13 ноября — последний день приёма задач

Листок 2. Разложения матриц

Сроки сдачи листка 2:

18 декабря — последний день приёма задач

с 12 по 18 декабря включительно одному студенту разрешается сдать не более пяти задач

с 6 по 18 декабря включительно одному студенту разрешается сдать не более десяти задач

Лабораторные работы

Лабораторная работа 1 (2-й модуль)

Срок:

5 декабря 23:30 для групп 164-168

7 декабря 23:30 для группы 163

Условие

Файл с условием представляет собой IPython ноутбук. Выполнять работу нужно прямо в нём. При этом, пожалуйста, не затирайте условий задач или хотя бы их номеров. Задание должно быть выполнено на языке Python.

Готовы лабораторные нужно будет сдавать в систему AnyTask. Инвайты для регистрации на курс:

Краткое руководство по работе с системой прилагается.

Для того чтобы начать работать с IPython (Jupyter) ноутбуками, рекомендуется скачать Анаконду (теоретически можно и без неё справиться, но лучше не ищите себе сложностей).

Все вопросы по лабораторной работе можно задавать Станиславу Николаевичу Федотову. Пишите на почту: st-fedotov@yandex-team.ru

Внимание: тема письма должна начинаться с [ФКН - лабораторная 1]

Без этого письмо с некоторой вероятностью может остаться без ответа.

Контрольные работы

2-й модуль

Контрольная работа состоялась 19 ноября в 12:10 в аудиториях 622 и 509.

На контрольной было разрешено иметь с собой только ручку, бумагу и электронное устройство с единственной функцией "калькулятор".

Условия задач из контрольной

Ниже приведены задачи, которые рекомендовалось прорешивать для подготовки к контрольной. Задачи рассортированы по темам, в скобках указаны номера из задачника Проскурякова.

• Решение систем линейных уравнений [82--89, 567--581, 689--704, 712--720]
• Действия с матрицами [788--798, 801, 805, 822, 824, 836--845, 861--870, 937]
• Подстановки [125, 128, 155, 170, 176, 177, 178, 184]
• Определители 2-го и 3-го порядка [1--12, 43--60]
• Определители произвольного порядка: определение [188--206]
• Вычисление определителей произвольного порядка [257--269, 279, 316]

Коллоквиумы

2-й модуль

Даты коллоквиума: 9 и 10 декабря.

Формат проведения коллоквиума

Этап 1. Студент вытягивает пять бумажек из списка определений/формулировок, ему даётся 10 минут на их написание, после чего один из принимающих проверяет результат. Если результат не выше 3 (из 5), то коллоквиум завершается с оценкой 0. Если результат 4, то студент переходит на этап 2 с несгораемой оценкой 1. Если результат 5, то студент переходит на этап 2 с несгораемой оценкой 2.

Этап 2. Студент вытягивает билет с двумя вопросами из списка вопросов на доказательство, ему даётся 40 минут на подготовку, после чего начинается разговор с принимающим (возможно, другим). По результатам разговора выставляется окончательная оценка.

Список определений и формулировок

Список вопросов на доказательство

Экзамен 2-й модуль

Формат проведения: письменная работа

Дата-время: 22 декабря, 10:30

Разрешения: иметь с собой ручку и электронное устройство с единственной функцией "калькулятор"

Запреты: иметь при себе средства связи (при обнаружении такового производится удаление с экзамена с выставлением оценки 0)

Задачи для подготовки к экзамену (рассортированы по темам, номера с пометкой "П" даны по задачнику Проскурякова, номера с пометкой "К" — по задачнику Кострикина):

• Системы линейных уравнений: П 82–89, 567–581, 689–704, 712–720, 724–732; К 8.1, 8.2, 8.4
• Действия с матрицами: П 788–798, 801, 805, 822–825, 836–845, 861–870, 937; К 17.1–17.4, 18.1, 18.3, 18.8–18.11
• Подстановки: П 125, 128, 155, 170, 176, 177, 178, 184; К 3.1–3.4, 3.6, 3.7
• Определители: П 1–12, 43–60, 188–206, 212–214, 224– 232, 236–240, 257–269, 279, 316; К 9.1, 9.2, 10.1–10.4, 11.1–11.4, 12.1, 12.2, 13.1
• Комплексные числа: К 20.1, 20.2, 20.4, 20.11, 21.1, 21.2, 22.7
• Векторные пространства, линейная зависимость, базис, подпространства: П 639–644, 665–669, 672–676, 679–681, 1285–1293, 1297–1304, 1308, 1310, 1311, 1824–1828; К 34.1–34.4, 35.1–35.3, 35.11
• Ранг матрицы: П 612, 613, 619–622, К 7.1, 7.2

Ведомости текущего контроля

1-2 модули

Результаты проверки больших домашних заданий

Результаты сдачи задач из листков

Результаты контрольных работ

Сводные таблицы с оценками

3-4 модули

Результаты проверки больших домашних заданий

Кстати

Единственная (на момент прочтения этого курса) литературная форма множественного числа слова вектор — это ве́кторы.

Литература

Учебники

• А.И. Кострикин. Введение в алгебру. Часть I. Основы алгебры. М.: Физматлит, 1994
• А.И. Кострикин. Введение в алгебру. Часть II. Линейная алгебра. М.: Физматлит, 2000
• Э.Б. Винберг. Курс алгебры. М.: Факториал, 1999 (или любое последующее издание)
• А.А. Михалёв, А.В. Михалёв. Начала алгебры. Часть I. М.: Интернет-университет информационных технологий, 2005
• И.М. Гельфанд. Лекции по линейной алгебре (любое издание, кроме 1-го, например М.: Добросвет, МЦНМО, 1998)

Сборники задач

• И.В. Проскуряков. Сборник задач по линейной алгебре (любое издание, например М.: БИНОМ, 2005)
• Сборник задач по алгебре под редакцией А.Н. Кострикина. Новое издание. М.: МЦНМО, 2009.