Алгебра 2014/2015 — различия между версиями

Версия 10:16, 9 июня 2015

Цель этого небольшого курса — познакомить слушателей с основными структурами современной алгебры. Первые пять лекций посвящены теории групп, последние пять — кольцам и полям. Мы докажем базовые факты об этих структурах и продемонстрируем их возможные приложения. Сдавшие этот курс смогут, среди прочего, перечислить с точностью до изоморфизма все коммутативные группы из 100 элементов, найти сумму кубов корней данного многочлена, доказать, что многочлен от многих переменных однозначно раскладывается на простые множители, и объяснить, почему не существует поля из 6 элементов.

Преподаватели и учебные ассистенты

Расписание консультаций

Формы контроля знаний студентов

Домашняя работа

Домашние задания условно разделены на две части, каждая из которых содержит по 20 задач. Первая часть (по теории групп) состоит из 5 блоков по 4 задачи в каждом, вторая часть (по кольцам и полям) состоит из 4 блоков по 5 задач в каждом. Домашние задания будут выдаваться на каждом семинаре, по одному блоку задач за раз.

Важно: при обнаружении двух и более одинаковых решений в работах разных студентов результаты будут аннулироваться независимо от того, кто у кого списал.

Результаты выполнения первой части домашних заданий будут отражены в оценке O_дз1, вычисляемой по формуле

O_дз1 = 0,5 * (число решённых задач из первой части).

Аналогично, работа над второй частью домашних заданий выльется в оценку O_дз2:

O_дз2 = 0,5 * (число решённых задач из второй части).

Контрольная работа

Письменная контрольная работа будет проведена одновременно для всех групп 13 июня с 13:40 до 15:00. Работа будет состоять из шести задач стоимостью по 2 балла каждая, так что оценка за контрольную может быть больше 10 баллов.

Показ работ контрольной пройдёт 15 июня с 15:10 до 16:30 в ауд. 622.

Важно: на контрольной можно будет пользоваться любыми материалами на бумажных носителях. Использование электронных устройств (кроме тех, у которых единственная функция — калькулятор) будет запрещено.

Типы задач на контрольной работе

• Порядки элементов и подгруппы в конечных абелевых группах [60.39, 60.40, 60.42, 60.43, 60.45]
• Факторгруппы свободных абелевых групп [60.52, 60.53, 60.54]
• Орбиты и стабилизаторы для действий групп на множествах [57.1, 57.2, 57.3, 57.9]
• Симметрические многочлены и теорема Виета [31.2, 31.3. 31.4, 31.9, 31.10, 31.25, 31.26]
• Алгоритм Евклида и линейное представление НОД в кольце многочленов [25.2, 25.3, 25.5, 25.7]
• Минимальные многочлены и вычисления в конечных расширениях полей [67.3, 67.13]

Для каждого типа в скобках указаны номера задач из Сборника задач по алгебре под редакцией А.И. Кострикина (М.: МЦНМО, 2009), которые рекомендуется решать для тренировки.

Экзамен

Экзамен будет устный. Каждый билет будет включать в себя по два вопроса из программы курса.

Программа курса

Расписание экзаменов

Порядок формирования оценок

Накопленная оценка будет вычисляться по следующей формуле:

O_{накопленная} = 0,3 * O_дз1 + 0,3 * O_дз2 + 0,4 * O_к/р,

где O_дз1 — оценка за первое домашнее задание, O_дз2 — оценка за второе домашнее задание, O_к/р — оценка за контрольную работу.

Итоговая оценка будет выражаться через накопленную и оценку за экзамен следующим образом:

O_{итоговая} = 0,5 * O_{накопленная} + 0,5 * О_экз.

Округление будет производиться только для итоговой оценки. Способ округления — арифметический.

Конспекты лекций

В этом разделе выкладываются подготовленные И.В. Аржанцевым (и местами дополненные Р.С. Авдеевым) конспекты всех лекций курса. Содержание этих конспектов может незначительно отличаться от материала, фактически прочитанного на лекциях.

Лекция 1 (2.04.2015). Полугруппы и группы: основные определения и примеры. Группы подстановок и группы матриц. Подгруппы. Порядок элемента и циклические подгруппы. Смежные классы и индекс подгруппы. Теорема Лагранжа и её следствия

Лекция 2 (9.04.2015). Нормальные подгруппы. Факторгруппы и теорема о гомоморфизме. Центр группы. Прямое произведение групп. Факторизация по сомножителям. Разложение конечной циклической группы

Лекция 3 (16.04.2015). Конечно порождённые и свободные абелевы группы. Подгруппы свободных абелевых групп. Теорема о согласованных базисах. Алгоритм приведения целочисленной матрицы к диагональному виду

Лекция 4 (23.04.2015). Строение конечно порождённых абелевых групп. Конечные абелевы группы. Экспонента конечной абелевой группы

Лекция 5 (30.04.2015). Действие группы на множестве. Орбиты и стабилизаторы. Транзитивные и свободные действия. Три действия группы на себе. Классы сопряжённости. Теорема Кэли

Лекция 6 (14.05.2015). Кольца. Делители нуля, обратимые элементы, нильпотенты и идемпотенты. Поля и алгебры. Идеалы и факторкольца. Теорема о гомоморфизме. Центр алгебры матриц над полем. Простота алгебры матриц над полем

Лекция 7 (21.05.2015). Евклидовы кольца, кольца главных идеалов и факториальные кольца. Факториальность кольца многочленов от многих переменных

Лекция 8 (28.05.2015). Элементарные симметрические многочлены. Основная теорема о симметрических многочленах. Лексикографический порядок. Теорема Виета. Дискриминант многочлена

Лекция 9 (4.06.2015). Примеры полей. Характеристика поля. Расширения полей, алгебраические и трансцендентные элементы. Минимальный многочлен. Конечное расширение и его степень. Присоединение корня многочлена. Поле разложения многочлена: существование и единственность

Лекция 10 (11.06.2015)

Листки с задачами

Задачи к лекции 1

Задачи к лекции 2

Задачи к лекции 3

Задачи к лекции 4

Задачи к лекции 5

Задачи к лекции 6

Задачи к лекции 7

Задачи к лекции 8

Задачи к лекции 9

Разборы домашних заданий от Максима Каледина

Материалы размещены здесь.

Ведомости текущего контроля

101

102

103

104

105

106

107

108

Литература

• Э.Б. Винберг. Курс алгебры. М.: Факториал Пресс, 2002.
• А.И. Кострикин. Введение в алгебру. Основы алгебры. М.: Наука. Физматлит, 1994.
• А.И. Кострикин. Введение в алгебру. Основные структуры алгебры. М.: Наука. Физматлит, 2000.
• Сборник задач по алгебре под редакцией А.Н. Кострикина. Новое издание. М.: МЦНМО, 2009.