Теория вероятностей 2024/25 (основной поток) — различия между версиями

1. Дискретное вероятностное пространство. Вероятность, математическое ожидание, теоретическая медиана. Перестановочные тесты, p-значение для перестановочного теста. Математическое ожидание = центр масс.

NB: здесь сходу рисуем дерево NB: здесь нет задач на условную вероятность

!предупреждение об обозначениях случайных величин. Российская традиция — греческие буквы, американская традиция — заглавные английские буквы. Наш курс: любые буквы. Причина: теория вероятностей применяется в разных областях, где свои традиции.

NB: Способы вычисления вероятностей и ожиданий:

   * полный перебор руками 
   * примерные вычисления руками
   * полный перебор на компьютере
   * симуляции на компьютере
   * ...

2. Методы решения задач:

• разложение величины в сумму
• метод первого шага

   !идея: позиция в игре имеет цену

• just for fun: метод рычага в геометрии через ожидание

NB: рассказать здесь про комплексную случайную величину NB: по сути здесь мы уже решаем задачи на марковские цепи не говоря страшных определений LOTUS.

3. Условная вероятность и условное ожидание. !идея: зануляем вероятности невозможных событий, а остальные — масштабируем. формула полной вероятности !идея: дерево "помнит" формулу полной вероятности формула Байеса

Независимые события. Независимые случайные величины.

4. Методы решения задач:

• производящие функции многих переменных

   функция как способ записать множество
   HTT vs TTH
   ABRACADABRA 
   !разложение по биномиальной формуле

?: можно здесь успеть функцию производящую моменты

5. Биномиальное распределение. Геометрическое и гипергеометрическое распределения. Отрицательное биномиальное распределение.

6. Равномерное распределение на множестве в R^n Функция распределения. Функция плотности и вероятностная дифференциальная форма.

   !пояснение про неудачную традиционную терминологию "непрерывная случайная величина"
   величина с функцией плотности, величина с непрерывной функцией распределения. 

Квантили, квантильная функция.

7. Характеристики случайных величин и неравенства. Дисперсия. Энтропия. Неравенство Маркова. Неравенство Чебышёва. Неравенство Йенсена.

Здесь конец модуля 1 и КР-1!

8. Пуассоновский поток. Аксиомы пуассоновского потока. Вывод экспоненциального распределения и пуассоновского распределения из аксиом. Вывод экспоненциального распределения из предпосылки об отсутсвии памяти.

9. Нормальное распределение. Нормальное распределение: предпосылки Хершела-Максвелла. Нормальное распределение: аргументация Гаусса за среднее арифметическое. Нормальное распределение: предпосылки Лэндона (до уравнения в частных производных).

10. Классические непрерывные распределения.

Гамма-распределение, бета-распределение. Вывод нормального и экспоненциального распредений как минимизации энтропии.

11. Парные характеристики случайных величин. Наилучшая линейная аппроксимация. Ковариация. Корреляция. Кросс-энтропия.

Доказательство E(XY) = E(X) E(Y) для дискретных. Ковариационная матрица и ожидание для случайных векторов.

12. Совместная и условная функция плостности. Преобразования случайных величин.

13. Функция производящая моменты и характеристическая функция. Распределение суммы случайного количества случайных величин. Случайный выбор слагаемых.

14. Финансовые приложения

Оценивание опционов на биномиальном дереве. Максимизация долгосрочной прибыли, связь с энтропией. Возможно, индексы Гиттинса.

Здесь конец модуля 2 и КР-2

15. Сигма-алгебры.

Список известных величин как способ описания информации. Идея условного ожидания как оптимального прогноза. Сигма-алгебра как способ описания информации. Измеримость случайной величины относительно сигма-алгебры. Сигма-алгебра как ОДЗ для вероятности. Борелевская сигма-алгебра. Независимые случайные величины второе определение.

16. Условное математическое ожидание. Условная дисперсия. Сумма случайного количества случайных величин.

17. Сходимости случайных величин.

Сходимость по вероятности. Закон больших чисел. Сходимость почти наверное. Усилинный закон больших чисел. Сходимость по распределению.

18. Связь сходимостей. Лемма Слуцкого.

19. Центральная предельная теорема. Доказательство через подмену слагаемых. Доказательство через характеристические функции.

Здесь контрольная.

20. Винеровский процесс Условные ожидания, инверсия.

21. Байесовский подход к оцениванию параметров

Балансовое уравнение. Идея MCMC.

22. Доказательства свойств меры

23. Алгоритм построения математического ожидания в общем случае. Лемма Фату. Теорема о мажорируемой сходимости. Теорема о монотонной сходимости.

24. Резерв.

Жемчужинки, которые, вероятно, не успеем:

А. Методы решения задач: подсчёт случаев с помощью леммы Бернсайда и теоремы Пойа о перечислении (Burnside lemma, PET = Polya Enumeration Theorem)

B. вероятностные доказательства детерминистических теорем