Математический Анализ 2 на ПМИ 2022/2023 (пилотный поток) — различия между версиями

Версия 09:07, 20 марта 2023

Преподаватели и учебные ассистенты

О курсе

Эта страничка содержит ссылки на материалы по курсу Математического Анализа II в 2022/2023 учебном году на пилотном потоке образовательной программы "Прикладная Математика и Информатика" Факультета Компьютерных Наук НИУ ВШЭ.

Конспект лекций

Модуль 3

• Лекция 25 (20.03.2023). Преобразование Фурье; обратное преобразование Фурье; интеграл Фурье; теорема о сходимости интеграла Фурье в точке; формула обращения; функция, представимая своим интегралом Фурье; теорема о связи гладкости функции и скорости убывания ее преобразования Фурье; теорема о связи скорости убывания функции и гладкости ее преобразования Фурье; быстро убывающие функции; преобразование Фурье на пространстве быстро убывающих функций; изометрия унитарного пространства; преобразование Фурье как изометрия на унитарном пространстве быстро убывающих функций.

• Лекция 24 (13.03.2023). Суммирование тригонометрического ряда по Чезаро и ядро Фейера. Ядро Фейера и его основные свойства; утверждение о том, что последовательность ядер Фейера является \delta-образной; частная сумма тригонометрического ряда Фурье в смысле Чезаро как свертка я ядром Фейера; теорема Фейера о равномерной сходимости тригонометрических сумм Чейзаро; доказательство теоремы Вейерштрасса о равномерном приближении непрерывной 2\pi-периодической функции тригонометрическими многочленами; теорема о сходимости ряда Фурье в точке непрерывности; теорема Карлесона (без доказательства); комплексная форма тригонометрического ряда Фурье.

• Лекция 23 (06.03.2023). Поточечная сходимость тригонометрических рядов Фурье. Лемма Римана; ядро Дирихле; основные свойства ядра Дирихле; частная сумма тригонометрического ряда Фурье как свертка я ядром Дирихле; принцип локализации для рядов Фурье; условия Дини для поточечной сходимости тригонометрического ряда Фурье; примеры типов функций, удовлетворяющих условиям Дини.

• Лекция 22 (27.02.2023). Тригонометрические ряды Фурье. Замыкание множества в векторном пространстве с нормой; основная тригонометрическая система функций; теорема Вейерштрасса о равномерном приближении непрерывной 2\pi-периодической функции тригонометрическими многочленами; теорема о полноте основной тригонометрической системы функций; теорема о среднеквадратичной сходимости тригонометрического ряда Фурье.

• Лекция 21 (20.02.2023). Евклидовы пространства и ряды Фурье; скалярное произведение; евклидово пространство; неравенство Коши-Бунянковского-Шварца-Гельдера; норма на векторном пространстве; связь скалярного произведения и нормы; сходимость по норме; непрерывность скалярного произведения; теорема Пифагора; метод Грамма-Шмидта; коэффициенты Фурье; экстремальное свойство коэффициентов Фурье; неравенство Бесселя; равенство Парсеваля; условия полноты ортонормированной системы; ряд Фурье.

• Лекция 20 (13.02.2023). Свертка функций; локально интегрируемые и финитные функции; достаточные условия существования свертки; основные свойства свертки; \delta-образные последовательности; теорема о равномерной сходимости свертки; свертка непрерывной функции и многочлена; теорема Вейерштрасса о равномерном приближении непрерывной функции многочленами.

• Лекция 19 (06.02.2023). Эйлеровы интегралы (гамма- и бета-функция); основные свойства бета-функции (симметричность; формулы понижения; две альтернативные формы); основные свойства гамма-функции (бесконечная дифференцируемость; формула понижения; формула Эйлера-Гаусса; формула дополнения; связь гамма- и бета-функций); формула Эйлера для функции $\frac{\sin(\pi x)}{\pi x}$.

• Лекция 18 (30.01.2023). Несобственные интегралы, зависящие от параметра (продолжение); теорема о перестановке знаков несобственного интегрирования; теоремы предельном переходе в собственном и несобственном интегралах; разложение функции 1/sin(x) на простые дроби; формула Фруллани; теорема Дини; теорема о предельном переходе в несобственном интеграле для положительных монотонных функций.

• Лекция 17 (16.01.2023). Несобственные интегралы, зависящие от параметра; понятие равномерной сходимости функции; равномерная сходимость несобственного интеграла; критерий Коши и lim-sup критерий равномерной сходимости несобственного интеграла; признаки Вейерштрасса, Абеля и Дирихле равномерной сходимости несобственного интеграла; непрерывность, интегрируемость и дифференцируемость несобственного интеграла, зависящего от параметра; предельный переход под знаком интеграла.

• Лекция 16 (09.01.2023). Собственные интегралы, зависящие от параметра; непрерывность, интегрируемость и дифференцируемость собственного интеграла, зависящего от параметра; формула Лейбница.

Модуль 2

• Лекция 15 (12.12.2022). Несобственные кратные интегралы (продолжение); мажорантный признак сходимости для несобственного интеграла; понятие функции, абсолютно интегрируемой в несобственном смысле; первая теорема об абсолютной сходимости для несобственного интеграла; вторая теорема об абсолютной сходимости для несобственного интеграла.

• Лекция 14 (05.12.2022). Теорема Фубини для измеримого по Жордану множества; диффеоморфизм; Якобиан отображения; теорема о замене переменных в кратном интеграле (без доказательства); несобственные кратные интегралы; исчерпание множества; утверждение о том, что для интегрируемой по Риману на измеримом по Жордану множестве несобственный интеграл и интеграл Римана совпадают; теорема о несобственном кратном интеграле для неотрицательной функции.

• Лекция 13 (03.12.2022). Критерий Лебега существования интеграла Римана по измеримому по Жордану множеству; основные свойства интеграла Римана; теорема Фубини для промежутка; следствия из теоремы Фубини.

• Лекция 12 (28.11.2022). Нижняя и верхняя интегральная сумма Дарбу; нижний и верхний интегралы Дарбу; теорема о представлении интегралов Дарбу как пределов сумм Дпрбу; критерий Дарбу интегрируемости функции по Риману для n-мерного промежутка; интеграл Риману по измеримому по Жордану множеству; множество Жордановой меры нуль; характеристическая функция множества; критерий Лебега существования интеграла Римана по измеримому по Жордану множеству.

• Лекция 11 (21.11.2022). Множество Лебеговой меры нуль; пересечение разбиений промежутка в \mathbb{R}^n; расстояние между непересекающимися компактами в \mathbb{R}^n; критерий Лебега существования интеграла Римана по n-мерному промежутку.

• Лекция 10 (14.11.2022). Интеграл Римана на n-мерном промежутке; n-мерный промежуток в R^n; мера промежутка; разбиение промежутка; диаметр множества; диаметр разбиения; разбиение промежутка с отмеченными точками; интегральная сумма Римана; необходимое условие интегрируемости по Риману; колебание функции на множестве и в точке; компакт в R^n; компактность n-мерного промежутка в R^n; критерий компактности множества в R^n; теорема Кантора-Гейне о колебании функции.

• Лекция 9 (07.11.2022). Степенные ряды (продолжение); теорема о нулях степенного ряда; теорема о равенстве степенных рядов; понятие аналитической функции; два примера неаналитических функций; теорема о ряде Тейлора для последовательности [без доказательства]; теорема о достаточных условиях аналитичности функции.

• Лекция 8 (31.10.2022). Степенные ряды; теорема о радиусе сходимости степенного ряда; теорема Абеля о непрерывности суммы степенного ряда на множестве сходимости; формула Коши-Адамара; теорема о почленном интегрировании и дифференцировании степенного ряда на интервале сходимости.

Модуль 1

• Лекция 7 (17.10.2022). Теорема о почленном интегрировании функционального ряда/последовательности; теорема о почленном дифференцировании функционального ряда; теорема Вейерштрасса о равномерном приближении непрерывной функции многочленами (доказательство будет далее в курсе); признаки Вейерштрасса, Дирихле и Абеля равномерной сходимости функциональных рядов.

• Лекция 6 (10.10.2022). Функциональные последовательности и ряды; определение поточечной и равномерной сходимости функционального ряда (последовательности); теорема о почленном переходе к пределу; теорема о равномерно сходящемся ряде с непрерывным общим членом; lim sup критерий равномерной сходимости функционального ряда (последовательности); критерий Коши равномерной сходимости функционального ряда (последовательности).

• Лекция 5 (03.10.2022). Произведения числовых рядов; произведение числовых рядов в смысле Коши; теорема Тёплица; три следствия из теоремы Тёплица; теорема Мертенса о произведении числовых рядов; теорема Абеля о произведении числовых рядов; теорема Абеля о произведении абсолютно сходящихся рядов.

• Лекция 4 (01.10.2022). Преобразование Абеля; признак Дирихле для числовых рядов; признак Лейбница для знакочередующихся рядов; признак Абеля для числовых рядов; переместительное свойство абсолютно сходящегося ряда; теорема Римана о перестановках членов условно сходящегося ряда.

• Лекция 3 (19.09.2022). Интегральный признак Коши–Маклорена; признак Куммера; признак Раабе; признак Бертрана; признак Гаусса.

• Лекция 2 (12.09.2022). Знакопостоянные ряды; три признака сравнения для знакопостоянных рядов; теорема Лобачевского-Коши; усиленный радикальный признак Коши; усиленный признак д'Аламбера.

• Лекция 1 (05.09.2022). Числовые ряды (введение); числовая последовательность; числовой ряд; частная сумма ряда; сходящиеся и расходящиеся ряды; критерий Коши сходимости числового ряда; отрицание критерия Коши сходимости числового ряда; необходимое условие сходимости числового ряда; линейная комбинация сходящихся рядов; теорема о группировке членов ряда без перестановки; теорема о сходимости финально равных рядов; условно и абсолютно сходящиеся ряды; теорема об абсолютной сходимости ряда.

Семинары

Материал с семинаров 211-й группы:

Модуль 3

• Семинар №25 (13.03.23)
• Семинар №24 (06.03.23)
• Семинар №23 (27.02.23)
• Семинар №22 (20.02.23)
• Семинар №21 (13.02.23)
• Семинар №20 (06.02.23)
• Семинар №19 (30.01.23)
• Семинар №18 (23.01.23)
• Семинар №17 (16.01.23)
• Семинар №16 (09.01.23)

Модуль 2

• Семинар №14 (12.12.22)
• Семинар №13 (05.12.22)
• Семинар №12 (28.11.22)
• Семинар №11 (25.11.22)
• Семинар №10 (14.11.22)
• Семинар №9 (07.11.22)
• Семинар №8 (31.10.22)

Модуль 1

• Семинар №7 (17.10.22)
• Семинар №6 (10.10.22)
• Семинар №5 (03.10.22)
• Семинар №4 (26.09.22)
• Семинар №3 (19.09.22)
• Семинар №2 (12.09.22)
• Семинар №1 (05.09.22)

Материал с семинаров 212-й группы:

Модуль 3

• Семинар №25 (20.03.2023).

• Семинар №24 (13.03.2023).

• Семинар №23 (06.03.2023).

• Семинар №22 (27.02.2023).

• Семинар №21 (20.02.2023).

• Семинар №20 (13.02.2023).

• Семинар №19 (06.02.2023).

• Семинар №18 (30.01.2023).

• Семинар №17 (16.01.2023).

• Семинар №16 (09.01.2023).

Модуль 2

• Семинар №15 (12.12.2022).

• Семинар №14 (10.12.2022).

• Семинар №13 (05.12.2022).

• Семинар №12 (28.11.2022).

• Семинар №11 (21.11.2022).

• Семинар №10 (14.11.2022).

• Семинар №9 (07.11.2022).

• Семинар №8 (31.10.2022).

Модуль 1

• Семинар №7 (17.10.2022).

• Семинар №6 (10.10.2022).

• Семинар №5 (03.10.2022).

• Семинар №4 (01.10.2022).

• Семинар №3 (19.09.2022).

• Семинар №2 (12.09.2022).

• Семинар №1 (05.09.2022).

Материал с семинаров 214-й группы:

Модуль 1

Домашние задания

Обязательные ДЗ для 211-й группы:

Модуль 3

• ДЗ №24 (выдача: 06.03.23, дедлайн: 19.03.23)
• ДЗ №23 (выдача: 27.02.23, дедлайн: 12.03.23)
• ДЗ №22 (выдача: 20.02.23, дедлайн: 05.03.23)
• ДЗ №21 (выдача: 13.02.23, дедлайн: 26.02.23)
• ДЗ №20 (выдача: 06.02.23, дедлайн: 19.02.23)
• ДЗ №19 (выдача: 30.01.23, дедлайн: 12.02.23)
• ДЗ №18 (выдача: 23.01.23, дедлайн: 05.02.23)
• ДЗ №17 (выдача: 16.01.23, дедлайн: 29.01.23)
• ДЗ №16 (выдача: 09.01.23, дедлайн: 22.01.23)

Модуль 2

• ДЗ №13 (выдача: 05.12.22, дедлайн: 18.12.22)
• ДЗ №12 (выдача: 28.11.22, дедлайн: 11.12.22)
• ДЗ №11 (выдача: 25.11.22, дедлайн: 09.12.22)
• ДЗ №10 (выдача: 14.11.22, дедлайн: 27.11.22)
• ДЗ №9 (выдача: 07.11.22, дедлайн: 20.11.22)
• ДЗ №8 (выдача: 31.10.22, дедлайн: 13.11.22)

Модуль 1

• ДЗ №7 (выдача: 18.10.22, дедлайн: 06.11.22)
• ДЗ №6 (выдача: 10.10.22, дедлайн: 23.10.22)
• ДЗ №5 (выдача: 03.10.22, дедлайн: 16.10.22)
• ДЗ №4 (выдача: 26.09.22, дедлайн: 09.10.22)
• ДЗ №3 (выдача: 19.09.22, дедлайн: 02.10.22)
• ДЗ №2 (выдача: 12.09.22, дедлайн: 25.09.22)
• ДЗ №1 (выдача: 06.09.22, дедлайн: 18.09.22)

Обязательные ДЗ для 212-й группы:

Модуль 3

• ДЗ №22 (выдача: 27.02.23, дедлайн: 12.03.23)
• ДЗ №21 (выдача: 20.02.23, дедлайн: 05.03.23)
• ДЗ №20 (выдача: 13.02.23, дедлайн: 26.02.23)
• ДЗ №19 (выдача: 06.02.23, дедлайн: 19.02.23)
• ДЗ №18 (выдача: 30.01.23, дедлайн: 12.02.23)
• ДЗ №17 (выдача: 16.01.23, дедлайн: 29.01.23)
• ДЗ №16 (выдача: 09.01.23, дедлайн: 22.01.23)
• ДЗ №15 (выдача: 09.01.23, дедлайн: 22.01.23)

Модуль 2

• ДЗ №11 (выдача: 21.11.22, дедлайн: 04.11.22)
• ДЗ №10 (выдача: 14.11.22, дедлайн: 27.11.22)
• ДЗ №9 (выдача: 07.11.22, дедлайн: 20.11.22)
• ДЗ №8 (выдача: 31.10.22, дедлайн: 13.11.22)

Модуль 1

• ДЗ №7 (выдача: 17.10.22, дедлайн: 31.10.22)
• ДЗ №6 (выдача: 10.10.22, дедлайн: 23.10.22)
• ДЗ №5 (выдача: 03.10.22, дедлайн: 16.10.22)
• ДЗ №4 (выдача: 01.10.22, дедлайн: 09.10.22)
• ДЗ №3 (выдача: 21.09.22, дедлайн: 02.10.22)
• ДЗ №2 (выдача: 13.09.22, дедлайн: 25.09.22)
• ДЗ №1 (выдача: 05.09.22, дедлайн: 18.09.22)

Обязательные ДЗ для 204-й группы:

Модуль 1

Ведомость с оценками и Контроль посещаемости

Формы контроля и оценивание

Курс Математический Анализ II читается в 1, 2, 3 и 4 модулях.

В течение года установлены следующие формы контроля:

• два письменных экзамена (ЭК₁ и ЭК₂);
• две письменные контрольные работы (KР₁, КР₂);
• четыре коллоквиума (KЛ₁, КЛ₂, KЛ₃, КЛ₄);
• ряд самостоятельных работ (СР₁ и СР₂, где СР_i --- есть среднее арифметическое оценок всех самостоятельных работ, проведенных в i-м семестре);
• ряд домашних заданий (ДЗ₁ и ДЗ₂, где ДЗ_i --- есть среднее арифметическое оценок всех домашних работ, сданных в i-м семестре).

Блокирующих форм контроля нет.

Все оценки, а именно ЭК₁, ЭК₂, KР₁, КР₂, КЛ₁, КЛ₂, КЛ₃, КЛ₄, СР₁, СР₂, ДЗ₁ и ДЗ₂, являются вещественными числами, принадлежащими отрезку [0;10].

Накопленная Оценка за 1-й семестр, НО₁, вычисляется без округления по следующей формуле:

НО₁ = 5/22*КЛ₁ + 5/22*КЛ₂ + 4/22*СР₁ + 4/22*КР₁ + 4/22*ДЗ₁

Итоговая Оценка за 1-й семестр, ИО₁, вычисляется по следующей формуле:

ИО₁ = Округление₁(3/10*ЭК₁ + 7/10*НО₁),

где функция Округление₁(r) определена следующим образом: если десятичная часть неотрицательного вещественного числа r лежит в полуинтервале [0;0,2), то r округляется до максимального целого числа, не превосходящего r (например, Округление₁(7,199)=7); если десятичная часть неотрицательного вещественного числа r лежит в интервале (0,7;1), то r округляется до наименьшего целого числа, большего r (например, Округление₁(7,701)=8); если десятичная часть неотрицательного вещественного числа r лежит в отрезке [0,2;0,7], то r округляется до максимального целого числа, не превосходящего r, если студент присутствовал менее чем на 66% семинаров в 1-м семестре, иначе r округляется до наименьшего целого числа, не меньшего r.

Если НО₁ не меньше 8 (без округления), то студент может не сдавать 1-й экзамен. В этом случае ИО₁ = Округление₁(НО₁).

Накопленная Оценка за 2-й семестр, НО₂, вычисляется без округления по следующей формуле:

НО₂ = 5/22*КЛ₃ + 5/22*КЛ₄ + 4/22*СР₂ + 4/22*КР₂ + 4/22*ДЗ₂

Итоговая Оценка за 2-й семестр, ИО₂, вычисляется по следующей формуле:

ИО₂ = Округление₂(3/10*ЭК₂ + 7/10*НО₂),

где функция Округление₂(r) определена аналогично функции Округление₁(r), но с заменой 1-го семестра на 2-й.

Если НО₂ не меньше 8 (без округления), то студент может не сдавать 2-й экзамен. В этом случае ИО₂ = Округление₂(НО₂).

Окончательная Оценка за дисциплину, ОО, вычисляется по следующей формуле:

ОО = Округление(2/5*ИО₁ + 3/5*ИО₂),

где функция Округление(r) определена аналогично функции Округление₁(r), но с заменой 1-го семестра на весь учебный год.

Пересдача самостоятельных работ не предусмотрена даже по уважительной причине. Если студент не смог сдать какие-то самостоятельные работы по уважительной причине, то их вес переносится на вес ближайшей последующий контрольной работы (или экзамена, если таковой контрольной работы не имеется).

Без уважительной причины студент может сдать только одно ДЗ за семестр после дедлайна (оно оценивается без штрафа). В случае наличия уважительной причины ситуация решается индивидуально.

Самостоятельные работы

Контрольные Работы и Экзамены

Контрольная Работа 1

КР 1 запланирована на 12 ноября [СБ], пройдет в формате Zoom конференции, начало в 18:10, ссылка:

https://us06web.zoom.us/j/85112010444?pwd=Tm12cmt3ZndiWGlYVlJEYW5Yamo3UT09

На решение заданий КР 1 будет отведено 100-110 мин. В течение этих 100-110 мин. студенту запрещается пользоваться любыми записями (конспект лекций/семинаров, справочные таблицы, шпаргалки, гороскопы и т.п.) и любыми электронными устройствами (мобильными телефонами, часами, калькуляторами, товарищем по несчастью...). После окончания 100-110 мин., отведенных на решение задач, будет выделено отдельное время для фотографирования/сканирования работы и загрузке ее в Google форму, в течение этого времени студент не может вносить изменения в работу (но, разумеется, может пользоваться телефоном/сканером/компьютером).

Всего в варианте будет шесть задач, каждая задача оценивается в два балла, но больше 10 баллов за КР 1 набрать нельзя (будет браться минимум из суммы баллов за КР 1 и числа 10). Возможные типы задач приведены в этом PDF-файле. Вероятность того, что задач других типов на КР 1 не будет составляет около 99%. Стандартные ряды Тейлора и некоторые тригонометрические формулы будут приведены на варианте. Кроме того, если студенту нужен какой-то элементарный факт, прямо не относящийся к нашему курсу (например, формула для синуса тройного угла), то он может спросить этот факт у одного из преподавателей.

При написании КР 1 студент обязан включить в Zoom камеру и демонстрацию рабочего стола (в случает отсутствия камеры студент не допускается к написанию КР 1), кроме того, рабочее место студента должно попадать в поле зрения камеры. Вопросы, касающиеся технических проблем на стороне студента (отключение Интернет, зависание компьютера, кот, разорвавший работу,...), будут решаться в индивидуальном порядке.

Контрольная Работа 2

Экзамен 1

Экзамен 2

Коллоквиумы

Коллоквиум 1

Кол. 1 пройдет 17[ЧТ], 18[ПТ] и 19[СБ] ноября (конкретное время зависит от группы).

Кол. 1 будет проводиться в формате Zoom конференции.

Чтобы попасть на Кол. 1, вам нужно сначала на него записаться. Таблицу для записи (отдельная таблица для каждой группы) высылает семинарист (мы не приводим ссылки здесь, т.к. эти таблицы открыты для редактирования каждому, имеющему ссылку).

Кол. 1 будет проходить следующем образом: в указанное в таблице время, студент подключается к Zoom конференции, получает билет, готовится (примерно) 30-40 мин., фотографирует/сканирует свою работу, отправляет работу преподавателю, отвечает на вопросы по работе и доп. вопросы.

В билете будет:

1) четыре вопроса (по два вопроса из каждой темы, т.е. два вопроса по числовым рядам и два вопроса по функциональным рядам) на привести определение / формулировку. Список этих вопросов приведен в этом PDF-файле, каждый вопрос оценивается в 1 балл (за вопрос можно получить 0 или 0,5 или 1 балл).

2) один вопрос на привести доказательство. Список этих вопросов приведен в этом PDF-файле, этот вопрос оценивается в 4 балла (возможна оценка от 0 до 4 баллов с шагом 0,5 балла).

3) дополнительный вопрос(ы). Это может быть любой вопрос(ы), относящийся к курсу (например, не очень трудоемкая задача), но не доказательство из списка для второго вопроса. Этот вопрос(ы) оценивается в 2 балла (возможна оценка от 0 до 2 баллов с шагом 0,5 балла).

Во время подготовки студенту запрещается пользоваться любыми записями (конспект лекций/семинаров, справочные таблицы, шпаргалки, ...) и любыми электронными устройствами (мобильными телефонами, часами, калькуляторами, помощью лучшего друга,...). При сдачи Кол. 1 студент обязан включить в Zoom камеру и демонстрацию рабочего стола (в случает отсутствия камеры студент не допускается к сдачи Кол. 1). Вопросы, касающиеся технических проблем на стороне студента (отключение Интернет, зависание компьютера, кот, разорвавший работу,...), будут решаться в индивидуальном порядке.

Коллоквиум 2

Коллоквиум 3

Коллоквиум 4

Список рекомендуемой литературы

• В.А. Зорич - Математический анализ
• Л.И. Камынин - Курс математического анализа
• В.А. Ильин, Э.Г. Позняк - Основы математического анализа
• Terence Tao - Analysis