Математическое моделирование 22 — различия между версиями

Версия 12:06, 19 января 2022

О курсе

Данный курс Математическое моделирование читается во 2-ом семестре 2021/2022 учебного года на Факультете компьютерных наук НИУ ВШЭ для специализации Математическая инженерия.

Курс состоит из следующих перемежающихся друг с другом разделов:

• собственно модели (вариационное исчисление, дифференциальная геометрия, физика),
• точные методы исследования моделей (алгебраические, аналитические),
• численные методы исследования моделей.

Рассчитан на 1 семестр (2 модуля).

Область знаний, которую можно было бы назвать математическим моделированием, изучает как сами математические модели, так и общие закономерности их построения и методы анализа.

Как известно, любая наука в процессе своего становления проходит путь от классификации изучаемых объектов (примеры таких классификаций мы можем видеть в астрономии, биологии, химии) к их математическому описанию. По мнению А.Н. Уайтхеда: всякая наука по мере развития и совершенствования ее методов становится математической в своих основных понятиях.

Наиболее долгий и плодотворный путь в этом направлении прошла физика, влиянием которой проникнуты многие разделы математики. Можно даже сказать, что математика и физика развивались параллельно, взаимно обогащая друг друга идеями и методами. Поэтому выбор физики как плацдарма для курса математического моделирования вполне закономерен. С другой стороны, конечно, математическое моделирование не есть физика. Мы берем из физики лишь сами модели, оставляя физикам мотивировки и интерпретации.

План курса

В рамках семестрового курса мы вряд ли имеем возможность вникать в изучаемые темы слишком глубоко. Многие из представленных ниже тем в отдельности могли бы претендовать на семестровый курс, или даже более. Наш курс следует рассматривать как не более, чем знакомство с некоторыми задачами и методами математического моделирования. Приведенные в каждой теме литературные ссылки могут быть полезны для более детального изучения. Дополнительные, более конкретные ссылки приведены в списках задач.

0. Введение в математическое моделирование

Задачи

0.1 Общее представление о математической модели.

0.2 Корректность по Адамару.

0.3 Математическая модель как система уравнений.

0.4 Пример алгебраического уравнения: уравнение Кеплера.

0.5 Примеры моделей, связанных с ОДУ

0.6 Дифференциальные операции векторного анализа

0.7 Примеры моделей, связанных с УрЧП

0.8 Примеры моделей, некорректных по Адамару

Литература (вообще по предмету математическое моделирование):

1. Самарский А.А., Михайлов А.П. - Математическое моделирование. М.: Физматлит, 2001

2. Зарубин В.С. - Математическое моделирование в технике. М.: Изд-во МГТУ им. Баумана, 2003

1. Вариационное исчисление

Литература:

1. Гельфанд И.М., Фомин С.В. - Вариационное исчисление. М.: Физматлит, 1961

2. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. - Механика.

3. Дубровин Б.А., Новиков С.П., Фоменко А.Т. - Современная геометрия. М.: URSS, 2013. Том 1. Главы 5, 6

2. Дифференциальная геометрия

Литература:

1. Фиников С.П. - Теория поверхностей. М.: ЛЕНАНД, 2016

2. Дубровин Б.А., Новиков С.П., Фоменко А.Т. - Современная геометрия. М.: URSS, 2013. Том 1. Главы 1, 2

3. Алексеевский Д.В., Виноградов А.М., Лычагин В.В. - Основные идеи и понятия дифференциальной геометрии // Итоги науки и техн. Соврем. пробл. мат. Фундам. направления. ВИНИТИ, 1988, том 28

4. Савелов А.А. - Плоские кривые. М.: ЛИБРОКОМ, 2014

5. Кривошапко С.Н., Иванов В.Н., Халаби С.М. - Аналитические поверхности. М.: Наука, 2006

3. УрЧП математической физики

Литература:

1. Франк Ф., Мизес Р. - Дифференциальные и интегральные уравнения математической физики. М-Л: ОНТИ, 1937

2. Тихонов А.Н., Самарский А.А. - Уравнения математической физики. М.: Наука, 2004

3. Годунов С.К. - Уравнения математической физики. М.: Наука, 1971

4. Задача Коши для УрЧП

Литература:

1. Хартман Ф. - Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Мир, 1970. Глава 6

2. Рашевский П.К. - Геометрическая теория уравнений с частными производными. М.: УРСС, 2012

3. Фиников С.П. - Метод внешних форм Картана. М.-Л.: ОГИЗ, 1948.

4. Курант Р. - Уравнения с частными производными. М.: Мир, 1964

5. Краевые задачи для УрЧП

Литература:

1. Тихонов А.Н., Самарский А.А. - Уравнения математической физики. М.: Наука, 2004

2. Годунов С.К. - Уравнения математической физики. М.: Наука, 1971

3. Курант Р. - Уравнения с частными производными. М.: Мир, 1964

4. Гахов Ф.Д. - Краевые задачи. М.: Физматлит, 1963

5. Самарский А.А., Гулин А.В. - Численные методы. М.: Наука, 1989

6. УрЧП 2-го порядка

Литература:

1. Курант Р. - Уравнения с частными производными. М.: Мир, 1964

2. Тихонов А.Н., Самарский А.А. - Уравнения математической физики. М.: Наука, 2004

3. Годунов С.К. - Уравнения математической физики. М.: Наука, 1971

4. Самарский А.А., Гулин А.В. - Численные методы. М.: Наука, 1989

7. Метод малого параметра

Литература:

1. Найфэ А.Х. - Методы возмущений. М.: Мир, 1976

Занятия

Занятия проводятся в смешанном формате, без разделения материала на теорию / практику. Теоретический материал сопровождается практическим решением задач как аналитически (вручную или в системе компьютерной алгебры), так и численно (например, в питоне).

Записи занятий выкладываются в [ плейлист]

Формы контроля

По каждой теме выдается список задач, который рекомендуется рассматривать как большое домашнее задание. После прохождения темы (кроме Введения) проводится контрольная работа.

Текущие оценки за контрольные выставляются в [ гугл-таблицу]

В конце семестра предусмотрен экзамен, имеющий формат большой контрольной работы по всему материалу курса.

Итоговая оценка = 0.7 К + 0.3 Э