Алгебра на ПМИ 2017/2018 — различия между версиями
Ravdeev (обсуждение | вклад) (→Краткое содержание лекций) |
Ravdeev (обсуждение | вклад) (→Краткое содержание лекций) |
||
Строка 92: | Строка 92: | ||
'''Лекция 4''' (23.04.2018). Понятие кольца, примеры. Коммутативные кольца. Обратимые элементы, делители нуля, нильпотенты. Поля. Критерий того, что кольцо вычетов является полем. Алгебры над полем, размерность алгебры. Подкольца, подполя, подалгебры, гомоморфизмы, изоморфизмы. Идеалы в кольце. Главные идеалы и идеалы, порождённые подмножеством коммутативного кольца. Факторкольцо кольца по идеалу. Ядро и образ гомоморфизма колец. Теорема о гомоморфизме для колец. | '''Лекция 4''' (23.04.2018). Понятие кольца, примеры. Коммутативные кольца. Обратимые элементы, делители нуля, нильпотенты. Поля. Критерий того, что кольцо вычетов является полем. Алгебры над полем, размерность алгебры. Подкольца, подполя, подалгебры, гомоморфизмы, изоморфизмы. Идеалы в кольце. Главные идеалы и идеалы, порождённые подмножеством коммутативного кольца. Факторкольцо кольца по идеалу. Ядро и образ гомоморфизма колец. Теорема о гомоморфизме для колец. | ||
+ | |||
+ | '''Лекция 5''' (27.04.2018). Делимость в коммутативных кольцах без делителей нуля. Ассоциированные элементы. Наибольший общий делитель двух элементов. Кольца главных идеалов. Существование наибольшего общего делителя для двух элементов a и b кольца главных идеалов и его линейная выразимость через a и b. Простые элементы. Факториальные кольца. Факториальность колец главных идеалов. Деление с остатком в кольце многочленов от одной переменной над полем. Теорема о том, что кольцо многочленов от одной переменной над полем является кольцом главных идеалов. Неприводимые многочлены. | ||
== Листки с задачами == | == Листки с задачами == |
Версия 18:03, 27 апреля 2018
Содержание
Преподаватели и учебные ассистенты
Группа | БПМИ171 | БПМИ172 | БПМИ173 | БПМИ174 | БПМИ175 | БПМИ176 | БПМИ177 | БПМИ178 |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Лектор | Иван Владимирович Аржанцев | Роман Сергеевич Авдеев | ||||||
Семинарист | Иван Владимирович Аржанцев | Сергей Александрович Гайфуллин | Роман Сергеевич Авдеев | Полина Юрьевна Котенкова | Сергей Александрович Гайфуллин | Полина Юрьевна Котенкова | Станислав Николаевич Федотов | |
Ассистент | Елена Денисова | Дарина Мадуар | Даяна Мухаметшина | Наталия Бабина | Андрей Ткачёв | Елизавета Лысова | Даниил Рязановский | Денис Ракитин |
Расписание консультаций
Преподаватель/ассистент | понедельник | вторник | среда | четверг | пятница | |
---|---|---|---|---|---|---|
|
Иван Владимирович Аржанцев | 17:00–18:30, каб. 603 | ||||
|
Роман Сергеевич Авдеев | 15:40–17:40, ауд. 623 | 15:40–17:40, ауд. 623 | |||
|
Полина Юрьевна Котенкова | |||||
|
Сергей Александрович Гайфуллин | |||||
|
Станислав Николаевич Федотов | |||||
|
Елена Денисова | 13:40–15:00, ауд. 511 | ||||
|
Дарина Мадуар | 13:40–15:00, ауд. 311 | ||||
|
Даяна Мухаметшина | 9:40– 10:20 ауд. 313 | 15:10 – 17:00 ауд. 219 | |||
|
Наталия Бабина | 16:40–18:00, ауд. 308 | ||||
|
Андрей Ткачёв | 12:10–13:30, ауд. 304 | ||||
|
Елизавета Лысова | 16:40–18:00, ауд. 313 | ||||
|
Даниил Рязановский | C 12:10, комната 308 | ||||
|
Денис Ракитин | 16:40–18:00, ауд. 219 |
Порядок формирования оценок
Накопленная оценка вычисляется по следующей формуле:
Oнакопленная = 0,6 * Oдз + 0,4 * Oк/р,
где Oдз1 — оценка за домашние задания, Oк/р — оценка за контрольную работу.
Итоговая оценка выражается через накопленную и оценку за экзамен следующим образом:
Oитоговая = 0,5 * Oнакопленная + 0,5 * Оэкз.
Округление производится только для итоговой оценки. Способ округления — арифметический.
Информация для пилотного потока
Краткое содержание лекций
В этом разделе выложены конспекты всех лекций курса. Содержание этих конспектов может незначительно отличаться от материала, фактически прочитанного на лекциях.
Лекция 1 (6.04.2018). Полугруппы и группы: основные определения и примеры. Группы подстановок и группы матриц. Подгруппы. Порядок элемента и циклические подгруппы. Смежные классы и индекс подгруппы. Теорема Лагранжа и её следствия.
Лекция 2 (13.04.2018). Нормальные подгруппы. Факторгруппы и теорема о гомоморфизме. Центр группы. Прямое произведение групп. Факторизация по сомножителям. Разложение конечной циклической группы.
Лекция 3 (20.04.2018). Конечно порождённые и свободные абелевы группы. Подгруппы свободных абелевых групп. Теорема о согласованных базисах. Алгоритм приведения целочисленной матрицы к диагональному виду.
Листки с задачами
Листок с задачами к лекции N содержит в себе N-е домашнее задание.
Информация для основного потока
Краткое содержание лекций
Лекция 1 (2.04.2018). Бинарные операции. Полугруппы, моноиды, группы, коммутативные (абелевы) группы. Порядок группы. Примеры групп. Подгруппы. Описание всех подгрупп в группе целых чисел по сложению. Циклические подгруппы. Порядок элемента группы. Связь между порядком элемента и порядком порождаемой им циклической подгруппы. Циклические группы. Левые смежные классы группы по подгруппе, разбиение группы на левые смежные классы.
Лекция 2 (9.04.2018). Индекс подгруппы, теорема Лагранжа и пять следствий из неё. Нормальные подгруппы. Факторгруппа группы по нормальной подгруппе. Гомоморфизмы групп, простейшие свойства. Изоморфизм групп, изоморфные группы. Ядро и образ гомоморфизма групп. Теорема о гомоморфизме для групп.
Лекция 3 (16.04.2018). Классификация циклических групп с точностью до изоморфизма. Прямое произведение групп и разложение группы в прямое произведение подгрупп. Разложение конечной циклической группы. Примарные абелевы группы. Теорема о разложении конечной абелевой группы в прямое произведение примарных циклических групп, доказательство единственности числа и порядков примарных циклических множителей. Экспонента конечной абелевой группы, критерий цикличности. Криптография с открытым ключом. Задача дискретного логарифмирования. Система Диффи–Хеллмана обмена ключами. Криптосистема Эль–Гамаля.
Лекция 4 (23.04.2018). Понятие кольца, примеры. Коммутативные кольца. Обратимые элементы, делители нуля, нильпотенты. Поля. Критерий того, что кольцо вычетов является полем. Алгебры над полем, размерность алгебры. Подкольца, подполя, подалгебры, гомоморфизмы, изоморфизмы. Идеалы в кольце. Главные идеалы и идеалы, порождённые подмножеством коммутативного кольца. Факторкольцо кольца по идеалу. Ядро и образ гомоморфизма колец. Теорема о гомоморфизме для колец.
Лекция 5 (27.04.2018). Делимость в коммутативных кольцах без делителей нуля. Ассоциированные элементы. Наибольший общий делитель двух элементов. Кольца главных идеалов. Существование наибольшего общего делителя для двух элементов a и b кольца главных идеалов и его линейная выразимость через a и b. Простые элементы. Факториальные кольца. Факториальность колец главных идеалов. Деление с остатком в кольце многочленов от одной переменной над полем. Теорема о том, что кольцо многочленов от одной переменной над полем является кольцом главных идеалов. Неприводимые многочлены.
Листки с задачами
Листок с задачами к лекции N содержит в себе N-е домашнее задание.
Экзамен
Формат экзамена: устный
Ведомости текущего контроля
171 | 172 | 173 | 174 | 175 | 176 | 177 | 178 |
---|
Литература
- Э.Б. Винберг. Курс алгебры. М.: Факториал Пресс, 2002.
- А.И. Кострикин. Введение в алгебру. Основы алгебры. М.: Наука. Физматлит, 1994.
- А.И. Кострикин. Введение в алгебру. Основные структуры алгебры. М.: Наука. Физматлит, 2000.
- Сборник задач по алгебре под редакцией А.Н. Кострикина. Новое издание. М.: МЦНМО, 2009.