Алгебра КНАД 2025/2026 — различия между версиями
(→Краткое содержание лекций) |
|||
| (не показано 35 промежуточных версии 4 участников) | |||
| Строка 21: | Строка 21: | ||
| <center>1</center> || Дима Трушин || [https://t.me/DimaTrushin telegram] || Напишите мне и мы договоримся о времени проведения консультации. Для тех кто в Москве, очные консультации по средам с 17:00 до 20:00 в S812. | | <center>1</center> || Дима Трушин || [https://t.me/DimaTrushin telegram] || Напишите мне и мы договоримся о времени проведения консультации. Для тех кто в Москве, очные консультации по средам с 17:00 до 20:00 в S812. | ||
|- | |- | ||
| − | | <center>2</center> || Галина Калеева || Телеграм, ищите в группе курса алгебры || По вторникам | + | | <center>2</center> || Галина Калеева || Телеграм, ищите в группе курса алгебры || По вторникам в 19.00 в [https://zoom.us/j/92924917625?pwd=orQSJLoPw0A6pQ6WcU5xuRikcasZlq.1 зуме]. Во вторник 7 октября в 18.00! |
|- | |- | ||
| − | | <center>3</center> || Хасанов Айдар || || | + | | <center>3</center> || Хасанов Айдар || [https://t.me/akhasanovv Телеграм] || с 17:00 до 20:00 в тг |
|- | |- | ||
| − | | <center>4</center> || Мосевнин Кирилл || | + | | <center>4</center> || Мосевнин Кирилл || [https://t.me/lil4rain telegram] || Пишите, желательно в будние дни 16:00-21:00 (в выходные могу не ответить) |
|} | |} | ||
| Строка 50: | Строка 50: | ||
'''Лекция 1''' (08.09.2025). Бинарные операции. Ассоциативность, нейтральный элемент, обратный элемент, коммутативность. Определение группы. Аддитивная и мультипликативная нотации. Подгруппы и циклические подгруппы. | '''Лекция 1''' (08.09.2025). Бинарные операции. Ассоциативность, нейтральный элемент, обратный элемент, коммутативность. Определение группы. Аддитивная и мультипликативная нотации. Подгруппы и циклические подгруппы. | ||
| + | |||
| + | '''Лекция 2''' (15.09.2025). Подгруппы и циклические подгруппы (напоминание). Порядок элемента. Классификация циклических групп. Описание подгрупп в группе Z. Описание подгрупп в группе Z_n. Левые и правые смежные классы. Теорема Лагранжа и ее следствия. Нормальные подгруппы (определение). | ||
| + | |||
| + | '''Лекция 3''' (22.09.2025). Гомоморфизмы и изоморфизмы групп. Ядро и обрз гомоморфизма их свойства. Произведение групп. Конечные абелевы группы. Китайская теорема об остатках. Структура конечных абелевых групп. | ||
| + | |||
| + | '''Лекция 4''' (29.09.2025). Мультипликативная версия Китайской теоремы об остатках. Структура Z_{p^n}^*. Криптография. Быстрое возведение в степень. Проблема дискретного логарифмирования. Система Диффи-Хелмана и Эль-Гамаля. RSA. | ||
| + | |||
| + | '''Лекция 5''' (06.10.2025). Кольца, коммутативные кольца, поля, подкольца. Обратимые элементы, делители нуля, нильпотенты, идемпотенты. Идеалы. Описание идеалов в Z и Z_n. Гомоморфизмы и изоморфизмы колец. Китайская теорема об остатках для колец. Ядро и образ гомоморфизма колец и их свойства. | ||
| + | |||
| + | '''Лекция 6''' (13.10.2025). Многочлены от одной переменной. Алгоритм Евклида деления с остатком, наибольший общий делитель, идеалы в F[x]. Неприводимые многочлены и однозначное разложение на множители в F[x]. Кольца полиномиальных остатков, Китайская теорема об остатках для колец полиномиальных остатков. | ||
| + | |||
| + | '''Лекция 7''' (20.10.2025). Доказательство Китайской теоремы для колец полиномиальных остатков. Идеалы в кольце полиномиальных остатков. Характеристика поля. Расширение полей, расширение корнем. Конечные поля: количество элементов в конечном поле, цикличность мультипликативной группы конечного поля (формулировка), классификация конечных полей (без доказательства). Конструкция построения конечных полей. Случайные генераторы Галуа. Потоковое шифрование. | ||
| + | |||
| + | '''Лекция 8''' (03.11.2025). Коды с исправлением ошибок. Расстояние Хэмминга, минимальное расстояние кода, количество исправляемых ошибок. Линейные коды, вес элемента, проверочная матрица, количество исправляемых ошибок в терминах проверочной матрицы. Коды Хэмминга. Неравенство Синглтона. Коды Рида-Соломона. | ||
| + | |||
| + | '''Лекция 9''' (10.11.2025). Многочлены от нескольких переменных. Лексикографический порядок, стабилизация убывающих цепочек мономов. Элементарная редукция, редукция относительно множества многочленов, остатки, базис Грёбнера. Остановка процесса редукции. | ||
| + | |||
| + | '''Лекция 10''' (17.11.2025). S-многочлен и критерий Бухбергера. Идеалы в кольце многочленов от нескольких переменных, алгоритм Бухбергера для построения базиса Грёбнера идеала. Проблема принадлежности идеалу и исключения переменных. | ||
| + | |||
| + | '''Лекция 11''' (24.11.2025). Diamond Lemma. Доказательство критерия Бухбергера. Лемма Диксона и остановка алгоритма Бухбергера. | ||
| + | |||
| + | '''Лекция 12''' (01.12.2025). Отношения эквивалентности и фактормножества. Конгруэнция на группе. Построение структуры группы на классах эквивалентности. Описание конгруэнтностей в терминах нормальных подгрупп. | ||
| + | |||
| + | '''Лекция 13''' (08.12.2025). Две теоремы о гомоморфизме. Базис в абелевых группах, свободные абелевы группы с конечным базисом и их описание. Связь с конечными абелевыми группами. | ||
= Домашнее задание = | = Домашнее задание = | ||
| Строка 55: | Строка 79: | ||
* [https://disk.yandex.ru/i/ZXHZsb2lW3hefQ Домашнее задание 1] | * [https://disk.yandex.ru/i/ZXHZsb2lW3hefQ Домашнее задание 1] | ||
| + | |||
| + | * [https://disk.yandex.ru/i/8OseCjAvKcUsjg Домашнее задание 2] | ||
| + | |||
| + | * [https://disk.yandex.ru/i/tkMgAtFUZquhgg Домашнее задание 3] | ||
| + | |||
| + | * [https://disk.yandex.ru/i/7_X5xHlc6KeXtQ Домашнее задание 4] | ||
| + | |||
| + | * [https://disk.yandex.ru/d/Asql96HSze9tDg Домашнее задание 5] | ||
| + | |||
| + | * [https://disk.yandex.ru/i/ZSo7N_y6zNig6g Домашнее задание 6] | ||
| + | |||
| + | * [https://disk.yandex.ru/i/ldCTbMvYByyuCw Домашнее задание 7] | ||
| + | |||
| + | * [https://disk.yandex.ru/i/LZ11Vqb56zq4rw Домашнее задание 8] | ||
| + | |||
| + | * [https://disk.yandex.ru/i/RpLEVQB1zeFo5A Домашнее задание 9] | ||
| + | |||
| + | * [https://disk.yandex.ru/i/CCx5Uw65fM8Oqw Домашнее задание 10] | ||
| + | |||
| + | * [https://disk.yandex.ru/i/Dq8JNJk_UnFKuw Домашнее задание 11] | ||
| + | |||
| + | * [https://disk.yandex.ru/i/mKQszXOMKxF11Q Домашнее задание 12] | ||
| + | |||
| + | * [https://disk.yandex.ru/i/RI8gtuuXDHZD9A Домашнее задание 13] | ||
= Куда сдавать домашнее задание = | = Куда сдавать домашнее задание = | ||
| + | [https://classroom.google.com/c/ODA2MDE4NzQ2MzUy?cjc=m77ogzk3 Группа 241] | ||
| + | |||
| + | [https://classroom.google.com/c/ODA2MDMwNjY2NjI3?cjc=ezwhuxkb Группа 242] | ||
= Контрольная работа = | = Контрольная работа = | ||
| Строка 65: | Строка 116: | ||
* Домашние задания | * Домашние задания | ||
| − | + | {| class="wikitable" style="text-align:center" | |
| + | |- | ||
| + | ! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/14sDtX4xUa5ZNmctXveEqYv_bejyhIYHPDaGhjgHBZ_g/edit?gid=343539207#gid=343539207 241] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/14sDtX4xUa5ZNmctXveEqYv_bejyhIYHPDaGhjgHBZ_g/edit?gid=579388837#gid=579388837 242] | ||
| + | |} | ||
* Результаты Контрольной работы | * Результаты Контрольной работы | ||
| − | + | {| class="wikitable" style="text-align:center" | |
| − | + | |- | |
| + | ! [241] !! [242] | ||
| + | |} | ||
* Итоговая ведомость | * Итоговая ведомость | ||
| − | + | {| class="wikitable" style="text-align:center" | |
| − | + | |- | |
| + | ! [241] !! [242] | ||
| + | |} | ||
= Ссылки = | = Ссылки = | ||
| Строка 88: | Строка 146: | ||
* [https://disk.yandex.ru/d/8YxLcZWb9SdTxw Конспекты] семинаров группы 241 | * [https://disk.yandex.ru/d/8YxLcZWb9SdTxw Конспекты] семинаров группы 241 | ||
| + | |||
| + | * [[Алгебра КНАД 2025/2026/Доски 242|Доски семинаров группы 242]] | ||
* [ Видеозаписи]. | * [ Видеозаписи]. | ||
Текущая версия на 15:12, 8 декабря 2025
Содержание
Преподаватели и учебные ассистенты
| Группа | БКНАД241 | БКНАД242 |
|---|---|---|
| Лектор | Дима Трушин | |
| Семинарист | Галина Калеева | Никита Медведь |
| Ассистент | Хасанов Айдар | Мосевнин Кирилл |
Контакты
| Преподаватель/Ассистент | Как связаться | Когда | |
|---|---|---|---|
| |
Дима Трушин | telegram | Напишите мне и мы договоримся о времени проведения консультации. Для тех кто в Москве, очные консультации по средам с 17:00 до 20:00 в S812. |
| |
Галина Калеева | Телеграм, ищите в группе курса алгебры | По вторникам в 19.00 в зуме. Во вторник 7 октября в 18.00! |
| |
Хасанов Айдар | Телеграм | с 17:00 до 20:00 в тг |
| |
Мосевнин Кирилл | telegram | Пишите, желательно в будние дни 16:00-21:00 (в выходные могу не ответить) |
Формы контроля знаний студентов
- Еженедельные домашние задания
- Письменная контрольная работа по задачам
- Устный экзамен по теории
Порядок формирования итоговой оценки
Итоговая оценка считается по формуле
F = 0,3 * H + 0,3 T + 0,4 E
где H -- оценка за еженедельные домашние задания, T -- оценка за письменную контрольную, E -- оценка за устный экзамен.
Только финальная оценка F округляется. Правила округления арифметические.
Краткое содержание лекций
Лекция 1 (08.09.2025). Бинарные операции. Ассоциативность, нейтральный элемент, обратный элемент, коммутативность. Определение группы. Аддитивная и мультипликативная нотации. Подгруппы и циклические подгруппы.
Лекция 2 (15.09.2025). Подгруппы и циклические подгруппы (напоминание). Порядок элемента. Классификация циклических групп. Описание подгрупп в группе Z. Описание подгрупп в группе Z_n. Левые и правые смежные классы. Теорема Лагранжа и ее следствия. Нормальные подгруппы (определение).
Лекция 3 (22.09.2025). Гомоморфизмы и изоморфизмы групп. Ядро и обрз гомоморфизма их свойства. Произведение групп. Конечные абелевы группы. Китайская теорема об остатках. Структура конечных абелевых групп.
Лекция 4 (29.09.2025). Мультипликативная версия Китайской теоремы об остатках. Структура Z_{p^n}^*. Криптография. Быстрое возведение в степень. Проблема дискретного логарифмирования. Система Диффи-Хелмана и Эль-Гамаля. RSA.
Лекция 5 (06.10.2025). Кольца, коммутативные кольца, поля, подкольца. Обратимые элементы, делители нуля, нильпотенты, идемпотенты. Идеалы. Описание идеалов в Z и Z_n. Гомоморфизмы и изоморфизмы колец. Китайская теорема об остатках для колец. Ядро и образ гомоморфизма колец и их свойства.
Лекция 6 (13.10.2025). Многочлены от одной переменной. Алгоритм Евклида деления с остатком, наибольший общий делитель, идеалы в F[x]. Неприводимые многочлены и однозначное разложение на множители в F[x]. Кольца полиномиальных остатков, Китайская теорема об остатках для колец полиномиальных остатков.
Лекция 7 (20.10.2025). Доказательство Китайской теоремы для колец полиномиальных остатков. Идеалы в кольце полиномиальных остатков. Характеристика поля. Расширение полей, расширение корнем. Конечные поля: количество элементов в конечном поле, цикличность мультипликативной группы конечного поля (формулировка), классификация конечных полей (без доказательства). Конструкция построения конечных полей. Случайные генераторы Галуа. Потоковое шифрование.
Лекция 8 (03.11.2025). Коды с исправлением ошибок. Расстояние Хэмминга, минимальное расстояние кода, количество исправляемых ошибок. Линейные коды, вес элемента, проверочная матрица, количество исправляемых ошибок в терминах проверочной матрицы. Коды Хэмминга. Неравенство Синглтона. Коды Рида-Соломона.
Лекция 9 (10.11.2025). Многочлены от нескольких переменных. Лексикографический порядок, стабилизация убывающих цепочек мономов. Элементарная редукция, редукция относительно множества многочленов, остатки, базис Грёбнера. Остановка процесса редукции.
Лекция 10 (17.11.2025). S-многочлен и критерий Бухбергера. Идеалы в кольце многочленов от нескольких переменных, алгоритм Бухбергера для построения базиса Грёбнера идеала. Проблема принадлежности идеалу и исключения переменных.
Лекция 11 (24.11.2025). Diamond Lemma. Доказательство критерия Бухбергера. Лемма Диксона и остановка алгоритма Бухбергера.
Лекция 12 (01.12.2025). Отношения эквивалентности и фактормножества. Конгруэнция на группе. Построение структуры группы на классах эквивалентности. Описание конгруэнтностей в терминах нормальных подгрупп.
Лекция 13 (08.12.2025). Две теоремы о гомоморфизме. Базис в абелевых группах, свободные абелевы группы с конечным базисом и их описание. Связь с конечными абелевыми группами.
Домашнее задание
Каждый листок содержит задачи с семинара и соответствующее ДЗ. Дедлайн сдачи домашнего задания – начало следующего семинара. Дедлайн мягкий. При опоздании на t часов, оценка умножается на 0.7 t / 24.
Куда сдавать домашнее задание
Контрольная работа
Экзамен
Ведомости текущего контроля
- Домашние задания
| 241 | 242 |
|---|
- Результаты Контрольной работы
| [241] | [242] |
|---|
- Итоговая ведомость
| [241] | [242] |
|---|
Ссылки
- Группа курса в телеграме.
- Трансляция лекции по понедельникам с 11:10 до 12:30.
- Конспекты лекций.
- Виртуальные доски с лекций.
- Папка с задачами для семинаров и домашними заданиями.
- Конспекты семинаров группы 241
- [ Видеозаписи].
Литература
Основная
- Курс алгебры, Винберг, Э. Б.
- Заметки по теории кодирования, Ромащенко, А. Е.
- Введение в алгебру: основы алгебры: учебник для вузов, Кострикин, А. И.
- Идеалы, многообразия и алгоритмы. Кокс, Литтл, О'Ши.
Дополнительная
- Практическая криптография, Фергюсон, Нильс
- Базисы Гребнера и системы алгебраических уравнений, Аржанцев, И. В.
- Сборник задач по алгебре, учебник, под ред. А. И. Кострикина, 3-е изд., испр. и доп.
