Основы аналитической теории чисел 2024/25 — различия между версиями
Материал из Wiki - Факультет компьютерных наук
Ustinov (обсуждение | вклад) |
Ustinov (обсуждение | вклад) |
||
| (не показано 29 промежуточных версии этого же участника) | |||
| Строка 1: | Строка 1: | ||
== О курсе == | == О курсе == | ||
| − | Базовый курс аналитической теории чисел. Будут изложены основы метода тригонометрических сумм. В качестве приложений будут рассмотрены задачи, имеющие как теоретическое, так и прикладное значение. | + | Базовый курс аналитической теории чисел. Будут изложены основы метода тригонометрических сумм. В качестве приложений будут рассмотрены задачи, имеющие как теоретическое, так и прикладное значение. Лектор — [https://www.hse.ru/org/persons/530309935 А. В. Устинов] |
=== Предварительная программа === | === Предварительная программа === | ||
| Строка 16: | Строка 16: | ||
[https://classroom.google.com/c/NzE5MDM1MTA0MjM1?cjc=bly5hzl google-classroom] | [https://classroom.google.com/c/NzE5MDM1MTA0MjM1?cjc=bly5hzl google-classroom] | ||
| − | === | + | [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1ldM3vgMHX9YFC695JfL1ImtkYgVuO1mAiEHjC_6y72E/edit?gid=0#gid=0&range=D15 таблица с номером аудитории] |
| − | + | [https://t.me/+uR4F4p9ZFwhmYWUy ТГ-группа] | |
== Лекции == | == Лекции == | ||
| − | Лекция 1 (27.09.2024) Суммы Гаусса. [К] | + | Лекция 1 (27.09.2024) Задача о числе решений квадратичных сравнений. Суммы Гаусса. [К] |
| − | Лекция 2 (04.10.2024) Суммы Якобшталя. [J] | + | Лекция 2 (04.10.2024) Задачи о распределении квадратичных (не) вычетов. Суммы символов Лежандра. Суммы Якобшталя. [J, АР] |
| + | Лекция 3 (11.10.2024) Последняя запись из математического дневника Гаусса. [J] Сведение неполной суммы к полной. Асимптотические формулы для числа квадратичных (не)вычетов, не превосходящих данной границы. [К] | ||
| + | |||
| + | Лекция 4 (18.10.2024) Наименьший квадратичный невычет: оценка Виноградова. [Сегал] | ||
| + | |||
| + | Лекция 5 (01.11.2024) Числа и многочлены Бернулли. [ГКП] Символический вывод формулы суммирования Эйлера. [ГКП, Stef] | ||
| + | |||
| + | Лекция 6 (08.11.2024) Формула суммирования Эйлера. Аналитическое продолжение дзета-функции Римана на всю комплексную плоскость. [ГКП] Формула суммирования Пуассона. Вычисление суммы Гаусса. [Д] | ||
| + | |||
| + | Лекция 7 (15.11.2024) Связь между формулами суммирования Эйлера и Пуассона. Вариант формулы суммирования Пуассона для функций класса Шварца. Функциональное уравнение для тета-функции. [Коб] | ||
| + | |||
| + | Лекция 8 (22.11.2024) | ||
| + | |||
| + | Лекция 9 (29.11.2024) | ||
| + | |||
| + | Лекция 10 (06.12.2024) | ||
== Домашние задания == | == Домашние задания == | ||
| − | [https://drive.google.com/file/d/15PIYlu1NkrEs3LPV7GZkSREeswwG3GbY/view?usp=sharing ДЗ-1] | + | [https://drive.google.com/file/d/15PIYlu1NkrEs3LPV7GZkSREeswwG3GbY/view?usp=sharing ДЗ-1]: Суммы Гаусса, Рамануджана и Клостермана. |
| + | |||
| + | [https://drive.google.com/file/d/1DZQqe6blBH6r4PzVXFdKOjzRdX6HGG6i/view?usp=sharing ДЗ-2]: Суммы Шрутки. | ||
| + | |||
| + | [https://drive.google.com/file/d/1vV4t37U9JOrsh4wH14lbHy6guFecL7jd/view?usp=sharing ДЗ-3]: Разные задачи о квадратичных (не)вычетах. | ||
| + | |||
| + | [https://drive.google.com/file/d/1-zA9oNvJ-kCseKzEvVUwUGx4NlngE6vJ/view?usp=sharing ДЗ-4] (творческое и необязательное): Загадочные суммы Уайтмена и Брюера. | ||
| + | |||
| + | [https://drive.google.com/file/d/1nOJULMRbTK9kzRsGxALwx8hHEvAbZ6MV/view?usp=sharing ДЗ-5] Числа и многочлены Бернулли. | ||
| + | |||
| + | [https://drive.google.com/file/d/1LdlfgI-ch4sp_R-a0FkuPXmtkwGv06pj/view?usp=sharing ДЗ-6] Суммирование, периодизация, интерполяция. | ||
| + | |||
| + | [https://drive.google.com/file/d/1hsAC_xHJ0vqtlJxjwFK4wfq-xWNYvxOX/view?usp=sharing ДЗ-7] Формула суммирования Пуассона. | ||
== Оценка == | == Оценка == | ||
Итог = min(10, Округление(0.5 * ДЗ + 0.25 * Кол + 0.25 * Э)), где ДЗ — средняя оценка за все домашние задания, Кол — оценка за коллоквиум в 1-м модуле, Э — оценка за экзамен. Округление арифметическое. | Итог = min(10, Округление(0.5 * ДЗ + 0.25 * Кол + 0.25 * Э)), где ДЗ — средняя оценка за все домашние задания, Кол — оценка за коллоквиум в 1-м модуле, Э — оценка за экзамен. Округление арифметическое. | ||
| − | |||
| − | |||
==Книги== | ==Книги== | ||
===Основная литература=== | ===Основная литература=== | ||
| − | # [К] Коробов Н. М., Тригонометрические суммы и их приложения, 1989. | + | # [К] [https://libgen.st/book/index.php?md5=1428ACA11D5802376E51BC95B5B477E9 Коробов Н. М., Тригонометрические суммы и их приложения, 1989.] |
# [Сегал] [https://www.mathnet.ru/php/archive.phtml?wshow=paper&jrnid=rm&paperid=7060&option_lang=rus Сегал Б. И., “Тригонометрические суммы и некоторые их применения к теории чисел”, УМН, 1:3-4(13-14) (1946), 147–193.] | # [Сегал] [https://www.mathnet.ru/php/archive.phtml?wshow=paper&jrnid=rm&paperid=7060&option_lang=rus Сегал Б. И., “Тригонометрические суммы и некоторые их применения к теории чисел”, УМН, 1:3-4(13-14) (1946), 147–193.] | ||
| Строка 46: | Строка 71: | ||
# [АР] [http://ega-math.narod.ru/Books/Ireland.htm Айерленд К. Роузен, М. Классическое введение в современную теорию чисел. - М.: Мир, 1998.] | # [АР] [http://ega-math.narod.ru/Books/Ireland.htm Айерленд К. Роузен, М. Классическое введение в современную теорию чисел. - М.: Мир, 1998.] | ||
| − | # [Д] Дэвенпорт Г. Мультипликативная теория чисел. – М.: Наука, 1971. | + | # [ГКП] Грэхем Р., Кнут Д. Э., Паташник О. Конкретная математика. - М.: Мир, 1998. |
| − | # [J] Jacobsthal E. Über die Darstellung der Primzahlen der Form 4n+1 als Summe zweier Quadrate. - J. Reine Angew. Math., Vol. 132 (1907), 238-246. | + | # [Д] [https://libgen.st/book/index.php?md5=C0698FA7EC3785EB2155DB85E128A7DA Дэвенпорт Г. Мультипликативная теория чисел. – М.: Наука, 1971.] |
| − | # [Step] Степанов С. А. Арифметика алгебраических кривых. Москва, "Наука", 1991 | + | # [Коб] Коблиц Н. Введение в эллиптические кривые и модулярные формы. - М.: Мир, 1988. |
| + | # [J] [https://eudml.org/doc/149263 Jacobsthal E. Über die Darstellung der Primzahlen der Form 4n+1 als Summe zweier Quadrate. - J. Reine Angew. Math., Vol. 132 (1907), 238-246.] | ||
| + | # [Stef] [https://archive.org/details/interpolation0000stef Steffensen J. F. Interpolation. 1950.] Русский перевод: Стефенсен И. Ф. Теория интерполяции. М.-Л. ОНТИ, 1935 | ||
| + | # [Step] [https://libgen.st/book/index.php?md5=0393750424F2A06D0CBB5E3697ADD2B0 Степанов С. А. Арифметика алгебраических кривых. Москва, "Наука", 1991.] | ||
Текущая версия на 15:29, 16 ноября 2024
Содержание
О курсе
Базовый курс аналитической теории чисел. Будут изложены основы метода тригонометрических сумм. В качестве приложений будут рассмотрены задачи, имеющие как теоретическое, так и прикладное значение. Лектор — А. В. Устинов
Предварительная программа
- Тригонометрические суммы.
- Распределение квадратичных вычетов.
- Формулы суммирования.
- Распределение дробных долей вещественнозначных функций.
- Метод ван дер Корпута.
- Тригонометрические суммы с рекуррентной функцией.
Полезные ссылки
Лекции
Лекция 1 (27.09.2024) Задача о числе решений квадратичных сравнений. Суммы Гаусса. [К]
Лекция 2 (04.10.2024) Задачи о распределении квадратичных (не) вычетов. Суммы символов Лежандра. Суммы Якобшталя. [J, АР]
Лекция 3 (11.10.2024) Последняя запись из математического дневника Гаусса. [J] Сведение неполной суммы к полной. Асимптотические формулы для числа квадратичных (не)вычетов, не превосходящих данной границы. [К]
Лекция 4 (18.10.2024) Наименьший квадратичный невычет: оценка Виноградова. [Сегал]
Лекция 5 (01.11.2024) Числа и многочлены Бернулли. [ГКП] Символический вывод формулы суммирования Эйлера. [ГКП, Stef]
Лекция 6 (08.11.2024) Формула суммирования Эйлера. Аналитическое продолжение дзета-функции Римана на всю комплексную плоскость. [ГКП] Формула суммирования Пуассона. Вычисление суммы Гаусса. [Д]
Лекция 7 (15.11.2024) Связь между формулами суммирования Эйлера и Пуассона. Вариант формулы суммирования Пуассона для функций класса Шварца. Функциональное уравнение для тета-функции. [Коб]
Лекция 8 (22.11.2024)
Лекция 9 (29.11.2024)
Лекция 10 (06.12.2024)
Домашние задания
ДЗ-1: Суммы Гаусса, Рамануджана и Клостермана.
ДЗ-2: Суммы Шрутки.
ДЗ-3: Разные задачи о квадратичных (не)вычетах.
ДЗ-4 (творческое и необязательное): Загадочные суммы Уайтмена и Брюера.
ДЗ-5 Числа и многочлены Бернулли.
ДЗ-6 Суммирование, периодизация, интерполяция.
ДЗ-7 Формула суммирования Пуассона.
Оценка
Итог = min(10, Округление(0.5 * ДЗ + 0.25 * Кол + 0.25 * Э)), где ДЗ — средняя оценка за все домашние задания, Кол — оценка за коллоквиум в 1-м модуле, Э — оценка за экзамен. Округление арифметическое.
Книги
Основная литература
- [К] Коробов Н. М., Тригонометрические суммы и их приложения, 1989.
- [Сегал] Сегал Б. И., “Тригонометрические суммы и некоторые их применения к теории чисел”, УМН, 1:3-4(13-14) (1946), 147–193.
Дополнительная литература
- [АР] Айерленд К. Роузен, М. Классическое введение в современную теорию чисел. - М.: Мир, 1998.
- [ГКП] Грэхем Р., Кнут Д. Э., Паташник О. Конкретная математика. - М.: Мир, 1998.
- [Д] Дэвенпорт Г. Мультипликативная теория чисел. – М.: Наука, 1971.
- [Коб] Коблиц Н. Введение в эллиптические кривые и модулярные формы. - М.: Мир, 1988.
- [J] Jacobsthal E. Über die Darstellung der Primzahlen der Form 4n+1 als Summe zweier Quadrate. - J. Reine Angew. Math., Vol. 132 (1907), 238-246.
- [Stef] Steffensen J. F. Interpolation. 1950. Русский перевод: Стефенсен И. Ф. Теория интерполяции. М.-Л. ОНТИ, 1935
- [Step] Степанов С. А. Арифметика алгебраических кривых. Москва, "Наука", 1991.
