Аналитическая теория чисел: приложения комплексного анализа 25/26 — различия между версиями

Материал из Wiki - Факультет компьютерных наук
Перейти к: навигация, поиск
(Новая страница: «== О курсе == Базовый курс аналитической теории чисел. Будут изложены основы метода триго…»)
 
 
(не показано 26 промежуточных версии этого же участника)
Строка 1: Строка 1:
 
== О курсе ==
 
== О курсе ==
  
−
Базовый курс аналитической теории чисел. Будут изложены основы метода тригонометрических сумм. В качестве приложений будут рассмотрены задачи, имеющие как теоретическое, так и прикладное значение. Лектор — [https://www.hse.ru/org/persons/530309935 А. В. Устинов]
+
Методы комплексного анализа — мощный инструмент аналитической теории чисел. В курсе планируется рассказать о нескольких важных приложениях этого метода. Первая часть курса будет посвящена основными методами подсчёта интегралов и бесконечных сумм. Во второй части курса мы познакомимся тэта-функциями и модулярными формами. В качестве приложений мы рассмотрим задачи о представлении целых чисел суммами квадратов и задачу об асимптотическом поведении числа разбиений. Лектор — [https://www.hse.ru/org/persons/530309935 А. В. Устинов]
  
 
=== Предварительная программа ===
 
=== Предварительная программа ===
  
−
# Тригонометрические суммы.
+
# Основные методы подсчёта контурных интегралов.
−
# Распределение квадратичных вычетов.
+
# Вычисление суммы Гаусса.
−
# Формулы суммирования.
+
# Формула суммирования Пуассона. Суммирование бесконечных рядов.
−
# Распределение дробных долей вещественнозначных функций.
+
# Тэта-функции.
−
# Метод ван дер Корпута.
+
# Представление чисел суммами квадратов.
−
# Тригонометрические суммы с рекуррентной функцией.
+
# Модулярные формы.
 +
# Эта-функция Дедекинда. Суммы Дедекинда.
 +
# Теория разбиений. Формула Радемахера для числа разбиений натурального числа.
  
 
=== Полезные ссылки ===
 
=== Полезные ссылки ===
  
 +
[https://docs.google.com/spreadsheets/d/1nrzlctbhbJ6sBk0DGq_RZz-P2Tk3Ocu9mXyP6UzzgOo/edit?gid=0#gid=0&range=D19 Таблица с номером аудитории]
 +
 +
[https://classroom.google.com/c/ODEwODk3MDM1ODky?cjc=qd5huntp Приглашение в classroom]
 +
 +
[https://t.me/+OXLYfLxHcFphMWFi ТГ-группа]
  
 
== Лекции ==
 
== Лекции ==
  
 +
Лекция 1 (03.10.2025) Метод контурного интегрирования. Базовые примеры и приёмы. Интегрирование рациональных функций. Интеграл Дирихле. Интеграл Гаусса.
 +
 +
Лекция 2 (10.10.2025) Преобразование Фурье. Сдвиг контура. Использование точек ветвления многозначных функций. [Steph] Представление Ганкеля для гамма-функции Эйлера. [БЭ] Контур Похгаммера. Вычисление суммы Гаусса (начало). [Ap]
 +
 +
Лекция 3 (17.10.2025) Вычисление суммы Гаусса (завершение). Суммирование бесконечных рядов. [Stein]
 +
 +
Лекция 4 (24.10.2025) Преобразование Фурье голоморфных функций. Обратное преобразование Фурье. Формула суммирования Пуассона. [Stein]
 +
 +
Лекция 5 (07.11.2025) Тэта-функция Якоби и её свойства. Тройное произведение Якоби. [Stein]
 +
 +
Коллоквиум (12.11.2025)
 +
 +
Лекция 6 (14.11.2025) Разбиения чисел. Разбиения на нечётные и различные слагаемые. Пентагональная теорема Эйлера. Функциональное уравнение для тэта-функции Якоби. Эта-функция Дедекинда. Функциональное уравнение для эта-функции Дедекинда (начало). [Stein]
 +
 +
Лекция 7 (21.11.2025) Функциональное уравнение для эта-функции Дедекинда (завершение). Представление чисел суммой двух квадратов. Сведение задачи к вычислению ряда обратных косинусов. Преобразование Фурье от функции 1/ch(pi x). Применение формула суммирования Пуассона к функции 1/ch(pi x). [Stein]
 +
 +
Лекция 8 (28.11.2025)  Теорема Якоби о представлении чисел суммами двух квадратов. Теорема Харди -- Рамануджана об асимптотической формуле для числа разбиений (формулировка и план доказательства). [Stein]
 +
 +
Лекция 9 (05.12.2025) Теорема Харди -- Рамануджана об асимптотической формуле для числа разбиений, оценка остаточного члена. [Stein]
 +
 +
Лекция 10 (12.12.2025) Теорема Харди -- Рамануджана об асимптотической формуле для числа разбиений, подсчёт главного члена. [Stein]
  
 +
Экзамен (19.12.2025)
  
 
== Домашние задания ==
 
== Домашние задания ==
Строка 25: Строка 54:
 
== Оценка ==
 
== Оценка ==
  
 +
Итог = min(10, Округление(0.5 * ДЗ + 0.25 * Кол + 0.25 * Э)), где ДЗ — средняя оценка за все домашние задания, Кол — оценка за коллоквиум в 1-м модуле, Э — оценка за экзамен. Округление арифметическое.
  
 
==Книги==
 
==Книги==
 
===Основная литература===
 
===Основная литература===
  
−
# [К] [https://libgen.st/book/index.php?md5=1428ACA11D5802376E51BC95B5B477E9 Коробов Н. М., Тригонометрические суммы и их приложения, 1989.]  
+
# [Ap] [https://libgen.gl/edition.php?id=136364090 Apostol Tom M. Modular functions and Dirichlet series in number theory, 1990.]
−
# [Сегал] [https://www.mathnet.ru/php/archive.phtml?wshow=paper&jrnid=rm&paperid=7060&option_lang=rus Сегал Б. И., “Тригонометрические суммы и некоторые их применения к теории чисел”, УМН, 1:3-4(13-14) (1946), 147–193.]
+
# [Stein] [https://libgen.gl/edition.php?id=135849329 Stein E., Shakarchi R. Complex analysis, 2003.]
  
 
===Дополнительная литература===
 
===Дополнительная литература===
  
−
# [АР] [http://ega-math.narod.ru/Books/Ireland.htm Айерленд К. Роузен, М. Классическое введение в современную теорию чисел. - М.: Мир, 1998.]
+
# [Steph] [https://libgen.gl/edition.php?id=136657859 Stephenson G., Radmore P. M. Advanced mathematical methods for engineering and science students, 1990.]  
−
# [ГКП] Грэхем Р., Кнут Д. Э., Паташник О. Конкретная математика. - М.: Мир, 1998.
+
# [БЭ] Бэйтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции (том 1). Гипергеометрические функции. Функции Лежандра. 1973.
 
# [Д] [https://libgen.st/book/index.php?md5=C0698FA7EC3785EB2155DB85E128A7DA Дэвенпорт Г. Мультипликативная теория чисел. – М.: Наука, 1971.]  
 
# [Д] [https://libgen.st/book/index.php?md5=C0698FA7EC3785EB2155DB85E128A7DA Дэвенпорт Г. Мультипликативная теория чисел. – М.: Наука, 1971.]  
 
# [Коб] Коблиц Н. Введение в эллиптические кривые и модулярные формы. - М.: Мир, 1988.
 
# [Коб] Коблиц Н. Введение в эллиптические кривые и модулярные формы. - М.: Мир, 1988.
−
# [J] [https://eudml.org/doc/149263 Jacobsthal E. Über die Darstellung der Primzahlen der Form 4n+1 als Summe zweier Quadrate. - J. Reine Angew. Math., Vol. 132 (1907), 238-246.]
+
# [Rad1] [https://www.math.purdue.edu/~sahay5/iitd.pdf Sahay, Anurag, and Rijul Saini. "Partitions and Rademacher’s Exact Formula." (2012).]  
−
# [Stef] [https://archive.org/details/interpolation0000stef Steffensen J. F. Interpolation. 1950.] Русский перевод: Стефенсен И. Ф. Теория интерполяции. М.-Л. ОНТИ, 1935
+
# [Rad2] [https://arxiv.org/abs/2302.03835 Kong, Ze-Yong / Teo, Lee-Peng Rademacher's Formula for the Partition Function (2023).]
−
# [Step] [https://libgen.st/book/index.php?md5=0393750424F2A06D0CBB5E3697ADD2B0 Степанов С. А. Арифметика алгебраических кривых. Москва, "Наука", 1991.]
+

Текущая версия на 22:27, 5 декабря 2025

О курсе

Методы комплексного анализа — мощный инструмент аналитической теории чисел. В курсе планируется рассказать о нескольких важных приложениях этого метода. Первая часть курса будет посвящена основными методами подсчёта интегралов и бесконечных сумм. Во второй части курса мы познакомимся тэта-функциями и модулярными формами. В качестве приложений мы рассмотрим задачи о представлении целых чисел суммами квадратов и задачу об асимптотическом поведении числа разбиений. Лектор — А. В. Устинов

Предварительная программа

  1. Основные методы подсчёта контурных интегралов.
  2. Вычисление суммы Гаусса.
  3. Формула суммирования Пуассона. Суммирование бесконечных рядов.
  4. Тэта-функции.
  5. Представление чисел суммами квадратов.
  6. Модулярные формы.
  7. Эта-функция Дедекинда. Суммы Дедекинда.
  8. Теория разбиений. Формула Радемахера для числа разбиений натурального числа.

Полезные ссылки

Таблица с номером аудитории

Приглашение в classroom

ТГ-группа

Лекции

Лекция 1 (03.10.2025) Метод контурного интегрирования. Базовые примеры и приёмы. Интегрирование рациональных функций. Интеграл Дирихле. Интеграл Гаусса.

Лекция 2 (10.10.2025) Преобразование Фурье. Сдвиг контура. Использование точек ветвления многозначных функций. [Steph] Представление Ганкеля для гамма-функции Эйлера. [БЭ] Контур Похгаммера. Вычисление суммы Гаусса (начало). [Ap]

Лекция 3 (17.10.2025) Вычисление суммы Гаусса (завершение). Суммирование бесконечных рядов. [Stein]

Лекция 4 (24.10.2025) Преобразование Фурье голоморфных функций. Обратное преобразование Фурье. Формула суммирования Пуассона. [Stein]

Лекция 5 (07.11.2025) Тэта-функция Якоби и её свойства. Тройное произведение Якоби. [Stein]

Коллоквиум (12.11.2025)

Лекция 6 (14.11.2025) Разбиения чисел. Разбиения на нечётные и различные слагаемые. Пентагональная теорема Эйлера. Функциональное уравнение для тэта-функции Якоби. Эта-функция Дедекинда. Функциональное уравнение для эта-функции Дедекинда (начало). [Stein]

Лекция 7 (21.11.2025) Функциональное уравнение для эта-функции Дедекинда (завершение). Представление чисел суммой двух квадратов. Сведение задачи к вычислению ряда обратных косинусов. Преобразование Фурье от функции 1/ch(pi x). Применение формула суммирования Пуассона к функции 1/ch(pi x). [Stein]

Лекция 8 (28.11.2025) Теорема Якоби о представлении чисел суммами двух квадратов. Теорема Харди -- Рамануджана об асимптотической формуле для числа разбиений (формулировка и план доказательства). [Stein]

Лекция 9 (05.12.2025) Теорема Харди -- Рамануджана об асимптотической формуле для числа разбиений, оценка остаточного члена. [Stein]

Лекция 10 (12.12.2025) Теорема Харди -- Рамануджана об асимптотической формуле для числа разбиений, подсчёт главного члена. [Stein]

Экзамен (19.12.2025)

Домашние задания

Оценка

Итог = min(10, Округление(0.5 * ДЗ + 0.25 * Кол + 0.25 * Э)), где ДЗ — средняя оценка за все домашние задания, Кол — оценка за коллоквиум в 1-м модуле, Э — оценка за экзамен. Округление арифметическое.

Книги

Основная литература

  1. [Ap] Apostol Tom M. Modular functions and Dirichlet series in number theory, 1990.
  2. [Stein] Stein E., Shakarchi R. Complex analysis, 2003.

Дополнительная литература

  1. [Steph] Stephenson G., Radmore P. M. Advanced mathematical methods for engineering and science students, 1990.
  2. [БЭ] Бэйтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции (том 1). Гипергеометрические функции. Функции Лежандра. 1973.
  3. [Д] Дэвенпорт Г. Мультипликативная теория чисел. – М.: Наука, 1971.
  4. [Коб] Коблиц Н. Введение в эллиптические кривые и модулярные формы. - М.: Мир, 1988.
  5. [Rad1] Sahay, Anurag, and Rijul Saini. "Partitions and Rademacher’s Exact Formula." (2012).
  6. [Rad2] Kong, Ze-Yong / Teo, Lee-Peng Rademacher's Formula for the Partition Function (2023).
Источник — «http://wiki.cs.hse.ru/index.php?title=Аналитическая_теория_чисел:_приложения_комплексного_анализа_25/26&oldid=94075»