Аналитическая теория чисел: приложения комплексного анализа 25/26 — различия между версиями

Версия 20:21, 6 октября 2025

О курсе

Методы комплексного анализа — мощный инструмент аналитической теории чисел. В курсе планируется рассказать о нескольких важных приложениях этого метода. Первая часть курса будет посвящена основными методами подсчёта интегралов и бесконечных сумм. Во второй части курса мы познакомимся тэта-функциями и модулярными формами. В качестве приложений мы рассмотрим задачи о представлении целых чисел суммами квадратов и задачу об асимптотическом поведении числа разбиений. Лектор — А. В. Устинов

Предварительная программа

1. Основные методы подсчёта контурных интегралов.
2. Вычисление суммы Гаусса.
3. Формула суммирования Пуассона. Суммирование бесконечных рядов.
4. Тэта-функции.
5. Представление чисел суммами квадратов.
6. Модулярные формы.
7. Эта-функция Дедекинда. Суммы Дедекинда.
8. Теория разбиений. Формула Радемахера для числа разбиений натурального числа.

Полезные ссылки

Лекции

Домашние задания

Оценка

Итог = min(10, Округление(0.5 * ДЗ + 0.25 * Кол + 0.25 * Э)), где ДЗ — средняя оценка за все домашние задания, Кол — оценка за коллоквиум в 1-м модуле, Э — оценка за экзамен. Округление арифметическое.

Книги

Основная литература

1. [Ap] Apostol Tom M. Modular functions and Dirichlet series in number theory, 1990.

Дополнительная литература

1. [Д] Дэвенпорт Г. Мультипликативная теория чисел. – М.: Наука, 1971.
2. [Коб] Коблиц Н. Введение в эллиптические кривые и модулярные формы. - М.: Мир, 1988.