Аналитическая теория чисел: приложения комплексного анализа 25/26 — различия между версиями

Версия 14:10, 6 октября 2025

О курсе

Методы комплексного анализа — мощный инструмент аналитической теории чисел. В курсе планируется рассказать о нескольких важных приложениях этого метода. Первая часть курса будет посвящена основными методами подсчёта интегралов и бесконечных сумм. Во второй части курса мы познакомимся тэта-функциями и модулярными формами. В качестве приложений мы рассмотрим задачи о представлении целых чисел суммами квадратов и задачу об асимптотическом поведении числа разбиений. Лектор — А. В. Устинов

Предварительная программа

1. Основные методы подсчёта контурных интегралов.
2. Вычисление суммы Гаусса.
3. Формула суммирования Пуассона. Суммирование бесконечных рядов.
4. Тэта-функции.
5. Представление чисел суммами квадратов.
6. Модулярные формы.
7. Эта-функция Дедекинда. Суммы Дедекинда.
8. Теория разбиений. Формула Радемахера для числа разбиений натурального числа.

Полезные ссылки

Лекции

Домашние задания

Оценка

Итог = min(10, Округление(0.5 * ДЗ + 0.25 * Кол + 0.25 * Э)), где ДЗ — средняя оценка за все домашние задания, Кол — оценка за коллоквиум в 1-м модуле, Э — оценка за экзамен. Округление арифметическое.

Книги

Основная литература

1. [К] Коробов Н. М., Тригонометрические суммы и их приложения, 1989.
2. [Сегал] Сегал Б. И., “Тригонометрические суммы и некоторые их применения к теории чисел”, УМН, 1:3-4(13-14) (1946), 147–193.

Дополнительная литература

1. [АР] Айерленд К. Роузен, М. Классическое введение в современную теорию чисел. - М.: Мир, 1998.
2. [ГКП] Грэхем Р., Кнут Д. Э., Паташник О. Конкретная математика. - М.: Мир, 1998.
3. [Д] Дэвенпорт Г. Мультипликативная теория чисел. – М.: Наука, 1971.
4. [Коб] Коблиц Н. Введение в эллиптические кривые и модулярные формы. - М.: Мир, 1988.
5. [J] Jacobsthal E. Über die Darstellung der Primzahlen der Form 4n+1 als Summe zweier Quadrate. - J. Reine Angew. Math., Vol. 132 (1907), 238-246.
6. [Stef] Steffensen J. F. Interpolation. 1950. Русский перевод: Стефенсен И. Ф. Теория интерполяции. М.-Л. ОНТИ, 1935
7. [Step] Степанов С. А. Арифметика алгебраических кривых. Москва, "Наука", 1991.