Алгебра ПИ 2022-2023 — различия между версиями

Версия 22:28, 15 июня 2023

Преподаватели и учебные ассистенты

Консультации

Для проведения консультации нужно договориться с ассистентом и заранее предоставить ему список вопросов. В случае, когда вопрос небольшой и конкретный, его можно задать ассистенту в онлайн режиме.

Прошедшие лекции

Лекция 7.09.2022. Две прямые на плоскости: взаимное расположение и правило Крамера. Детерминант матрицы 2-го порядка как пример функции от матрицы. Определение матрицы произвольного размера, равенство матриц. Сложение матриц, умножение матриц на число. Произведение матриц.

Лекция 14.09.2022. Геометрическое доказательство формул Крамера для плоскости. Операция транспонирования. Свойства операций над матрицами. Единичная матрица. Транспонирование произведения. Элементарные преобразования строк матрицы. Ступенчатый вид и улучшенный ступенчатый вид. Формулировка теоремы о методе Гаусса.

Лекция 21.09.2022. Доказательство теоремы о методе Гаусса. Перестановки и подстановки. Знак подстановки. Умножение подстановок и его свойства. Запись в циклах. Формула определителя. Расшифровка для n=2.

Лекция 28.09.2022. Свойства определителя: 1. Определитель транспонированной матрицы, 2. Полилинейность. 3. Кососимметричность. 4. Достаточные условия обнуления: нулевая строка и совпадение строк. Утверждение об эквивалентности кососимметричности и обнуления на совпадающих аргументах для линейной функции. 5. Определитель не меняется, если к строке добавить линейную комбинацию других. 6. Определитель равен нулю, если строка равна линейной комбинации остальных. 7. Значение определителя на единичной матрице. Утверждение о том, что любая полилинейная кососимметрическая функция является определителем, с точность до множителя (доказательство для n=2). Второе определение детерминанта как полилинейной кососимметрической функции от столбцов, равной 1 на единичной матрице. 8. Определитель произведения. 9. Разложение по строке. 10. Фальшивое разложение.

Лекция 05.10.2022. Свойства определителя: 11. Определитель верхнетреугольной матрицы. 12. Определитель блочной матрицы. Доказательство правила Крамера. Вычисление определителей с помощью метода Гаусса и рекуррентных соотношений. Определение обратной матрицы. Её единственность. Теорема о критерии существования обратной матрицы. Союзная матрица.

Лекция 12.10.2022. Матрица обратная к произведению матриц и матрица обратная к транспонированной матрице. Вычисление обратной матрицы с помощью элементарных преобразований и по формуле. Минор. Ранг матрицы. Базисный минор. Определение линейной комбинации строк. Линейная зависимость строк (столбцов). Линейно независимые строки. Критерий линейной зависимости.

Лекция 19.10.2022. Доказательство критерия линейной зависимости. Два свойства ранга матрицы: ранг транспонированной матрицы и поведение ранга при элементарных преобразованиях. Способ вычисления ранга: элементарными преобразованиями привести матрицу к ступенчатому виду. Теорема о базисном миноре. Следствие теоремы о базисном миноре (критерий невырожденности квадратной матрицы). Формулировка теоремы о ранге матрицы (эквивалентность определений ранга).

Лекция 02.11.2022. Доказательство теоремы о ранге матрицы. Cпособ вычисления ранга: метод окаймляющих миноров (без доказательства). Однородные СЛАУ, Свойства решений однородных и неоднородных систем линейных алгебраических уравнений. Теорема Кронекера-Капелли.

Лекция 16.11.2022. Теорема о структуре общего решения однородной системы линейных алгебраических уравнений (завершение доказательства). Теорема о структуре общего решения неоднородной системы линейных алгебраических уравнений. Комплексные числа: алгебраическая и тригонометрическая форма записи. Алгебраические свойства сложения и умножения комплексных чисел. Комплексное сопряжение. Деление комплексных чисел. Модуль и аргумент комплексного числа. Главное значение аргумента

Лекция 23.11.2022. Формула Муавра. Извлечение комплексного корня n-ой степени. Формула Эйлера и её следствия. Формулировка "основной" теоремы алгебры. Теорема Безу. Утверждение о корнях многочлена с вещественных коэффициентами. Разложение многочленов на неприводимые множители над действительными и над комплексными числами. Теорема Виета, пример для многочлена третьей степени. Лекция 30.11.2022. Векторы в трехмерном пространстве. Скалярное произведение векторов (его алгебраические свойства). Базис в трехмерном пространстве. Ортогональный и ортонормированный базисы. Вычисление скалярного произведения в координатах, заданных в ортонормированном базисе. Матрица Грама базиса. Вычисление скалярного произведения в координатах. Правый базис. Векторное произведение векторов в трехмерном пространстве. Алгебраические свойства векторного произведения. Вычисление векторного произведения в координатах, заданных в ортонормированном базисе. Критерий коллинеарности двух векторов. Смешанное произведение векторов, его свойства.

Лекция 07.12.2022. Вычисление смешанного произведения в координатах, заданных в ортонормированном базисе. Вычисление объема параллелепипеда. Критерий компланарности трех векторов. Прямоугольная декартова система координат. Радиус-вектор точки. Радиус-вектор точки, делящей отрезок в данном отношении, середина отрезка. Уравнение поверхности и его геометрический образ. Прямая и обратная задачи аналитической геометрии. Общее уравнение плоскости в пространстве. Теорема о том, что любое линейное уравнение первого порядка задает плоскость. Уравнение плоскости, проходящей через три точки. Уравнение плоскости в отрезках. Взаимное расположение плоскостей. Угол между плоскостями. Расстояние от точки до плоскости. Прямая в пространстве. Общие уравнения прямой. Векторное уравнение прямой. Параметрические уравнения прямой. Канонические уравнения прямой. Взаимное расположение прямой и плоскости. Взаимное расположение прямых. Критерий принадлежности двух прямых одной плоскости.

Лекция 11.01.2023. Группоид и полугруппа. Нейтральный элемент. Моноид. Примеры. Обратимые элементы. Группа: два определения. Примеры групп: симметрическая группа, общая линейная группа, специальная линейная группа. Коммутативная бинарная операция. Абелева группа. Подгруппа. Гомоморфизм. Пример гомоморфизма. Эпиморфизм и мономорфизм. Изоморфизм групп. Примеры. Таблица Кэли. Порядок элемента.

Лекция 18.01.2023. Циклическая группа. Аддитивная и мультипликативная запись. Пример бесконечной и конечной циклической групп. Утверждение о том, что все циклические группы одного порядка изоморфны. Два свойства гомоморфизма: единица переходит в единицу и образ обратного элемента равен обратному к образу. Замечание о том, что отображение обратное к изоморфизму само является изоморфизмом. Ядро гомоморфизма. Пример. Критерий инъективности гомоморфизма, использующий понятие ядра.

Лекция 25.01.2021. Критерий того, что подмножество является подгруппой. Прямое произведение групп. Пример с прямым произведением Z_2 на Z_2. Утверждения о связи порядка элемента, порождающего циклическую группу, с порядком группы. Утверждение о том, какими могут быть подгруппы группы целых чисел по сложению. Примеры групп: группа диэдра. Левый смежный класс по некоторой подгруппе. Лемма о том, что левые смежные классы либо не пересекаются, либо совпадают. Лемма о мощности левого смежного класса по подгруппе. Индекс подгруппы. Теорема Лагранжа. Следствие 1: порядок элемента конечной группы всегда делит порядок группы. Следствие 2: элемент группы, возведенный в степень равную порядку конечной группы, равен тождественному. Малая теорема Ферма как следствие теоремы Лагранжа.

Лекция 01.02.2023. Теорема Кэли. Автоморфизмы и внутренние автоморфизмы. Нормальная подгруппа. Определение факторгруппы. Корректность умножения смежных классов. Утверждение о том, что ядро гомоморфизма групп всегда является подгруппой. Теорема о гомоморфизме групп.

Лекция 08.02.2023. Естественный гомоморфизм. Примеры к теореме о гомоморфизме групп. Критерий нормальности подгруппы, использующий понятие сопряжения. Утверждение о том, что нормальными подгруппами являются ядра гомоморфизмов и только они. Группа кватернионов. Замечание о том, какими могут быть группы порядка восемь с точностью до изоморфизма. Простые группы. Пример.

Лекция 15.02.2023. Центр группы. Утверждение о том, что центр группы является нормальной подгруппой. Утверждение о том, что факторгруппа группы по её центру изоморфна группе её внутренних автоморфизмов. Задача дискретного логарифмирования. Шифрование: схема Диффи-Хеллмана, cхема Эль-Гамаля. Определение кольца. Аддитивная группа кольца. Мультипликативная полугруппа кольца. Примеры колец: числовые кольца, полное матричное кольцо, кольцо вычетов, кольцо многочленов от одной переменной. Коммутативное кольцо. Делители нуля. Целостное кольцо. Обратимые элементы в кольце. Мультипликативная группа кольца. Поле, примеры полей.

Лекция 22.02.2022. Подкольцо. Подполя: примеры. Алгоритм Евклида нахождения наибольшего общего делителя в кольце многочленов. Выражение для наибольшего общего делителя двух многочленов. Определение гомоморфизма колец. Двусторонний идеал. Примеры. Факторкольцо кольца по идеалу. Лемма о том, что ядро гомоморфизма колец является идеалом. Теорема о гомоморфизме колец. Характеристика поля.

Лекция 01.03.2023. Утверждение о том, что кольцо вычетов по модулю p является полем тогда и только тогда, когда p простое. Утверждение о том, что характеристика может быть либо простым числом, либо нулем. Расширение поля. Простое подполе. Утверждение о том, каким будет простое подполе в зависимости от характеристики. Пример расширения поля рациональных чисел с помощью присоединения корня из двух. Алгебраические элементы над полем. Утверждение о том, когда факторколько кольца многочленов над полем само является полем.

Лекция 15.03.2023. Доказательство утверждения о том, когда факторколько кольца многочленов над полем само является полем. Утверждение о том, что любое конечное поле может быть реализовано как факторкольцо кольца многочленов по идеалу, порожденному неприводимым многочленом (без доказательства). Явное построение поля из 4 элементов. Утверждения о том, сколько элементов может быть в конечном поле (без доказательства). Определение линейного пространства. Примеры линейных пространств: арифметическое пространство, множество непрерывных на отрезке функций. пространство решений однородной СЛАУ. Базис.

Лекция 23.03.2023. Единственность разложения по базису. Размерность. Связь размерности и числа элементов в базисе. Подпространства в линейном пространстве. Примеры подпространств. Линейная оболочка конечного набора векторов. Ранг системы векторов. Изоморфизм конечномерных векторных пространств арифметическому пространству (при фиксации базиса). Матрица перехода от старого базиса к новому. Изменение координат вектора при изменении базиса. Утверждение о том, как меняется матрица перехода при двух последовательных переходах. Утверждение о том, что ранг системы векторов равен рангу матрицы, составленной из столбцов их координат в некотором базисе. Пересечение подпространств. Сумма и прямая сумма подпространств. Утверждение о связи размерности суммы и пересечения подпространств.

Лекция 05.04.2023. Доказательство утверждения о связи размерности суммы и пересечения подпространств. Критерий того, что сумма подпространств является прямой. Билинейная форма и её матрица. Формула для преобразования матрицы билинейной формы при замене базиса. Определение квадратичной формы и матрицы квадратичной формы. Связь билинейных и квадратичной форм. Формула для преобразования матрицы квадратичной формы при замене базиса.

Лекция 12.04.2023. Утверждение об инвариантности ранга квадратичной формы. Положительная (отрицательная) определенность квадратичной формы, знакопеременные квадратичные формы, критерий Сильвестра (формулировка) и его следствие. Канонический и нормальный вид квадратичных форм. Метод Лагранжа приведения к нормальному виду. Закон инерции квадратичных форм (формулировка). Индексы инерции. Линейные отображения. Линейные операторы. Матрица линейного отображения и матрица линейного оператора. Пример. Формулировка утверждения том, что действие линейного оператора в конечномерном пространстве полностью определяется матрицей линейного оператора.

Лекция 19.04.2023. Доказательство утверждения о том, что действие линейного оператора в конечномерном пространстве полностью определяется матрицей линейного оператора. Утверждение о том, как меняется матрица линейного оператора при замене базиса. Утверждение о том, как меняется матрица линейного отображения при замене двух базисов Действия с линейными операторами и их матрицы. В частности, утверждение о том, что композиции операторов соответствует произведение матриц. Ядро и образ линейного отображения. Утверждение о связи размерностей ядра и образа линейного отображения. Замечание о том, что пространство может не раскладываться в прямую сумму ядра и образа линейного оператора, пример. Подобные матрицы. Инвариантность определителя. Собственный вектор и собственное значение линейного оператора. Характеристическое уравнение и характеристический многочлен квадратной матрицы.

Лекция 26.04.2023. Инвариантность характеристического многочлена. Собственный вектор и собственное значение линейного оператора. Спектр. Утверждение о том, что число принадлежит спектру тогда и только тогда, когда оно является корнем характеристического многочлена. Собственное подпространство. Алгебраическая и геометрическая кратности собственного значения. Инвариантность следа и определителя матрицы линейного оператора при замене координат. Неравенство, связывающее алгебраическую и геометрическую кратности собственного значения (без доказательства). Линейная независимость собственных векторов, отвечающих различным собственным значениям. Утверждение о том, что матрица линейного оператора диагональна тогда и только тогда, когда записана в базисе из собственных векторов. Диагонализируемость. Критерий диагонализируемости через кратности (без доказательства). Диагонализируемость оператора, имеющего только простые корни характеристического многочлена.

Лекция 10.05.2023. Определение евклидова пространства. Неравенства Коши—Буняковского и треугольника. Ортогональность. Ортогональная система. Ортогональный и ортонормированный базисы. Линейная независимость ортогональной системы ненулевых векторов. Выражение для координат вектора в ортогональном базисе через скалярные произведения. Матричная запись скалярного произведения, матрица Грама. Свойства матрицы Грама: 1) симметричность, 2) формула для преобразования матрицы Грама при переходе к новому базису (как матрицы билинейной формы), 3) положительность определителя. Алгоритм ортогонализации Грама–Шмидта. Существование ортонормированного базиса в любом конечномерном пространстве. Свойство 4 матрицы Грама: инвариантность грамиана относительно процесса ортогонализации Грама–Шмидта. Выражение для объема параллелепипеда через определитель матрицы Грама.

Лекция 17.05.2023. Ортогональное дополнение. Разложение евклидова пространства в прямую сумму подпространства и его ортогонального дополнения. Ортогональная проекция вектора на подпространство и ортогональная составляющая. Ортогональное дополнение к ортогональному дополнению. Критерий невырожденности матрицы Грама (5-ое свойство). Формула для ортогональной проекции вектора на подпространство. Определение линейного (алгебраического) многообразия. Замечание о том, как устроено линейное многообразие. Расстояние между вектором и линейным многообразием (определение). Расстояние от точки до линейного многообразия как длина ортогональной составляющей. Формула для расстояния через определители матриц Грама.

Лекция 24.05.2023. Линейные операторы в евклидовом пространстве. Сопряженный оператор в евклидовом пространстве. Самосопряженный (симметрический) оператор. Теорема о существовании сопряженного оператора. Формула для матрицы сопряженного оператора. Самосопряженные (симметрические) операторы. Критерий самосопряженности оператора. Вещественность собственных значений самосопряженного оператора. Ортогональность собственных векторов самосопряженного оператора, отвечающих разным собственным значениям. Теорема о существовании для любого самосопряженного оператора ортонормированного базиса из собственных векторов (формулировка). Теорема о существовании для самосопряженного оператора c попарно различными собственными значениями ортонормированного базиса из собственных векторов. Ортогональные матрицы и их четыре свойства. Ортогональные операторы. Сохранение длин и углов ортогональным оператором.

Лекция 31.05.2023. Теорема о том, что ортогональный оператор переводит ортонормированный базис в ортонормированный и верно обратное. Критерий ортогональности оператора, использующий его матрицу. Утверждение о том, что матрица перехода от одного ортонормированного базиса к другому ортонормированному базису ортогональна. Канонический вид ортогонального оператора (без доказательства). Теорема Эйлера (как следствие теоремы о каноническом виде). Теорема о том, что для любой симметрической матрицы найдется подобная ей диагональная матрица, а подобие осуществляется с помощью ортогональной матрицы (спектральное разложение). Теорема о сингулярном разложении. Утверждение о полярном разложении. Утверждение о QR-разложении.

Лекция 07.06.2023. Приведение квадратичной формы к каноническому виду ортогональным преобразованием. Алгебры: определение и примеры (комплексные числа, многочлены, матрицы, кватернионы). Кривые второго порядка. Определение эллипса, гиперболы, параболы, их параметры (в частности, эксцентриситет). Вывод уравнения эллипса. Вывод уравнения параболы. Исследование алгебраического уравнения второго порядка от двух переменных. Теорема о классификации кривых второго порядка.

Лекция 14.06.2023. Поверхности второго порядка (обзор). Поверхность вращения, цилиндрическая поверхность, линейчатая поверхность. Эллиптический цилиндр, гиперболический цилиндр, параболический цилиндр. Эллипсоид, однополостный гиперболоид. Двуполостный гиперболоид, эллиптический параболоид, гиперболический параболоид. Нахождение прямолинейных образующих для однополостного гиперболоида и гиперболического параболоида. Линейные формы (функционалы). Формула для преобразования координат ковектора при переходе к другому базису. Сопряженное пространство, ковекторы. Формула для преобразования координат ковектора при переходе к другому базису. Взаимные базисы. Изоморфизм между евклидовым пространством и сопряженным к нему.

Материалы

• Определения к КР1
• Вопросы к КР1
• Задачи к КР1
• Вопросы к экзамену 1
• Определения к экзамену 1
• Задачи к экзамену 1
• Вопросы к КР2
• Задачи к КР2
• Определения к КР2
• Определения к коллоквиуму
• Вопросы к коллоквиуму
• Задачи к экзамену 2
• Определения к экзамену 2