Алгебра ПИ 2022-2023 — различия между версиями
(→Прошедшие лекции) |
(→Прошедшие лекции) |
||
| Строка 37: | Строка 37: | ||
Лекция 07.12.2022. Вычисление смешанного произведения в координатах, заданных в ортонормированном базисе. Вычисление объема параллелепипеда. Критерий компланарности трех векторов. Прямоугольная декартова система координат. Радиус-вектор точки. Радиус-вектор точки, делящей отрезок в данном отношении, середина отрезка. Уравнение поверхности и его геометрический образ. Прямая и обратная задачи аналитической геометрии. Общее уравнение плоскости в пространстве. Теорема о том, что любое линейное уравнение первого порядка задает плоскость. Уравнение плоскости, проходящей через три точки. Уравнение плоскости в отрезках. Взаимное расположение плоскостей. Угол между плоскостями. Расстояние от точки до плоскости. Прямая в пространстве. Общие уравнения прямой. Векторное уравнение прямой. Параметрические уравнения прямой. Канонические уравнения прямой. Взаимное расположение прямой и плоскости. Взаимное расположение прямых. Критерий принадлежности двух прямых одной плоскости. | Лекция 07.12.2022. Вычисление смешанного произведения в координатах, заданных в ортонормированном базисе. Вычисление объема параллелепипеда. Критерий компланарности трех векторов. Прямоугольная декартова система координат. Радиус-вектор точки. Радиус-вектор точки, делящей отрезок в данном отношении, середина отрезка. Уравнение поверхности и его геометрический образ. Прямая и обратная задачи аналитической геометрии. Общее уравнение плоскости в пространстве. Теорема о том, что любое линейное уравнение первого порядка задает плоскость. Уравнение плоскости, проходящей через три точки. Уравнение плоскости в отрезках. Взаимное расположение плоскостей. Угол между плоскостями. Расстояние от точки до плоскости. Прямая в пространстве. Общие уравнения прямой. Векторное уравнение прямой. Параметрические уравнения прямой. Канонические уравнения прямой. Взаимное расположение прямой и плоскости. Взаимное расположение прямых. Критерий принадлежности двух прямых одной плоскости. | ||
| + | |||
| + | Лекция 11.01.2023. Группоид и полугруппа. Нейтральный элемент. Моноид. Примеры. Обратимые элементы. Группа: два определения. Примеры групп: симметрическая группа, общая линейная группа, специальная линейная группа. Коммутативная бинарная операция. Абелева группа. Подгруппа. Гомоморфизм. Пример гомоморфизма. Эпиморфизм и мономорфизм. Изоморфизм групп. Примеры. Таблица Кэли. Порядок элемента. | ||
== Материалы == | == Материалы == | ||
Версия 15:39, 11 января 2023
Преподаватели и учебные ассистенты
| Группа | БПИ 221 | БПИ 222 | БПИ 223 | БПИ 224 | БПИ 225 | БПИ 226 | БПИ 227 | БПИ 228 | БПИ 229 | БПИ 2210 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Лектор | Чернышев Всеволод Леонидович | |||||||||
| Семинаристы | Чернышев Всеволод | Михайлец Екатерина | Михайлец Екатерина | Шипицина Алина | Михайлец Екатерина | Медведь Никита | Медведь Никита | Максаев Артём | Зайцева Юлия | Зароднюк Алёна |
| Ассистенты | Васильев Владислав, Галиуллин Руслан, Зиганшин Шамиль | Абрамов Александр, Никифорова Алла, Овчинникова Полина | Абрамов Александр, Никифорова Алла, Овчинникова Полина | Артемов Никита, Бесшапов Алексей, Гладких Иван | Абрамов Александр, Никифорова Алла, Овчинникова Полина | Арунова Анастасия, Карлинский Леонид, Шмайхель Андрей | Арунова Анастасия, Карлинский Леонид, Шмайхель Андрей | Давидко Дарья, Шварева Виктория | Васильев Владислав, Галиуллин Руслан, Зиганшин Шамиль | Артемов Никита, Бесшапов Алексей, Гладких Иван |
Консультации
Для проведения консультации нужно договориться с ассистентом и заранее предоставить ему список вопросов. В случае, когда вопрос небольшой и конкретный, его можно задать ассистенту в онлайн режиме.
Прошедшие лекции
Лекция 7.09.2022. Две прямые на плоскости: взаимное расположение и правило Крамера. Детерминант матрицы 2-го порядка как пример функции от матрицы. Определение матрицы произвольного размера, равенство матриц. Сложение матриц, умножение матриц на число. Произведение матриц.
Лекция 14.09.2022. Геометрическое доказательство формул Крамера для плоскости. Операция транспонирования. Свойства операций над матрицами. Единичная матрица. Транспонирование произведения. Элементарные преобразования строк матрицы. Ступенчатый вид и улучшенный ступенчатый вид. Формулировка теоремы о методе Гаусса.
Лекция 21.09.2022. Доказательство теоремы о методе Гаусса. Перестановки и подстановки. Знак подстановки. Умножение подстановок и его свойства. Запись в циклах. Формула определителя. Расшифровка для n=2.
Лекция 28.09.2022. Свойства определителя: 1. Определитель транспонированной матрицы, 2. Полилинейность. 3. Кососимметричность. 4. Достаточные условия обнуления: нулевая строка и совпадение строк. Утверждение об эквивалентности кососимметричности и обнуления на совпадающих аргументах для линейной функции. 5. Определитель не меняется, если к строке добавить линейную комбинацию других. 6. Определитель равен нулю, если строка равна линейной комбинации остальных. 7. Значение определителя на единичной матрице. Утверждение о том, что любая полилинейная кососимметрическая функция является определителем, с точность до множителя (доказательство для n=2). Второе определение детерминанта как полилинейной кососимметрической функции от столбцов, равной 1 на единичной матрице. 8. Определитель произведения. 9. Разложение по строке. 10. Фальшивое разложение.
Лекция 05.10.2022. Свойства определителя: 11. Определитель верхнетреугольной матрицы. 12. Определитель блочной матрицы. Доказательство правила Крамера. Вычисление определителей с помощью метода Гаусса и рекуррентных соотношений. Определение обратной матрицы. Её единственность. Теорема о критерии существования обратной матрицы. Союзная матрица.
Лекция 12.10.2022. Матрица обратная к произведению матриц и матрица обратная к транспонированной матрице. Вычисление обратной матрицы с помощью элементарных преобразований и по формуле. Минор. Ранг матрицы. Базисный минор. Определение линейной комбинации строк. Линейная зависимость строк (столбцов). Линейно независимые строки. Критерий линейной зависимости.
Лекция 19.10.2022. Доказательство критерия линейной зависимости. Два свойства ранга матрицы: ранг транспонированной матрицы и поведение ранга при элементарных преобразованиях. Способ вычисления ранга: элементарными преобразованиями привести матрицу к ступенчатому виду. Теорема о базисном миноре. Следствие теоремы о базисном миноре (критерий невырожденности квадратной матрицы). Формулировка теоремы о ранге матрицы (эквивалентность определений ранга).
Лекция 02.11.2022. Доказательство теоремы о ранге матрицы. Cпособ вычисления ранга: метод окаймляющих миноров (без доказательства). Однородные СЛАУ, Свойства решений однородных и неоднородных систем линейных алгебраических уравнений. Теорема Кронекера-Капелли.
Лекция 16.11.2022. Теорема о структуре общего решения однородной системы линейных алгебраических уравнений (завершение доказательства). Теорема о структуре общего решения неоднородной системы линейных алгебраических уравнений. Комплексные числа: алгебраическая и тригонометрическая форма записи. Алгебраические свойства сложения и умножения комплексных чисел. Комплексное сопряжение. Деление комплексных чисел. Модуль и аргумент комплексного числа. Главное значение аргумента
Лекция 23.11.2022. Формула Муавра. Извлечение комплексного корня n-ой степени. Формула Эйлера и её следствия. Формулировка "основной" теоремы алгебры. Теорема Безу. Утверждение о корнях многочлена с вещественных коэффициентами. Разложение многочленов на неприводимые множители над действительными и над комплексными числами. Теорема Виета, пример для многочлена третьей степени. Лекция 30.11.2022. Векторы в трехмерном пространстве. Скалярное произведение векторов (его алгебраические свойства). Базис в трехмерном пространстве. Ортогональный и ортонормированный базисы. Вычисление скалярного произведения в координатах, заданных в ортонормированном базисе. Матрица Грама базиса. Вычисление скалярного произведения в координатах. Правый базис. Векторное произведение векторов в трехмерном пространстве. Алгебраические свойства векторного произведения. Вычисление векторного произведения в координатах, заданных в ортонормированном базисе. Критерий коллинеарности двух векторов. Смешанное произведение векторов, его свойства.
Лекция 07.12.2022. Вычисление смешанного произведения в координатах, заданных в ортонормированном базисе. Вычисление объема параллелепипеда. Критерий компланарности трех векторов. Прямоугольная декартова система координат. Радиус-вектор точки. Радиус-вектор точки, делящей отрезок в данном отношении, середина отрезка. Уравнение поверхности и его геометрический образ. Прямая и обратная задачи аналитической геометрии. Общее уравнение плоскости в пространстве. Теорема о том, что любое линейное уравнение первого порядка задает плоскость. Уравнение плоскости, проходящей через три точки. Уравнение плоскости в отрезках. Взаимное расположение плоскостей. Угол между плоскостями. Расстояние от точки до плоскости. Прямая в пространстве. Общие уравнения прямой. Векторное уравнение прямой. Параметрические уравнения прямой. Канонические уравнения прямой. Взаимное расположение прямой и плоскости. Взаимное расположение прямых. Критерий принадлежности двух прямых одной плоскости.
Лекция 11.01.2023. Группоид и полугруппа. Нейтральный элемент. Моноид. Примеры. Обратимые элементы. Группа: два определения. Примеры групп: симметрическая группа, общая линейная группа, специальная линейная группа. Коммутативная бинарная операция. Абелева группа. Подгруппа. Гомоморфизм. Пример гомоморфизма. Эпиморфизм и мономорфизм. Изоморфизм групп. Примеры. Таблица Кэли. Порядок элемента.
