Символьные вычисления 21/22 — различия между версиями
(+ лекция 5) |
(+ семинар 6 + дз1) |
||
Строка 38: | Строка 38: | ||
Семинар 5 (12.02.2022): Изоморфизм алгебраических многообразий, примеры с параболой и полукубической параболой. Нормальное многообразие. Неприводимые компоненты. Доминантные и сюръективные морфизмы. | Семинар 5 (12.02.2022): Изоморфизм алгебраических многообразий, примеры с параболой и полукубической параболой. Нормальное многообразие. Неприводимые компоненты. Доминантные и сюръективные морфизмы. | ||
+ | |||
+ | Семинар 6 (19.02.2022): Морфизмы из прямой в гиперболу. Задачи на применение базисов Грёбнера: принадлежность многочлена идеалу, решение системы полиномиальных уравнений, замыкание образа при морфизме, исключительные идеалы. | ||
== Контрольные мероприятия == | == Контрольные мероприятия == | ||
=== Домашние задания === | === Домашние задания === | ||
− | + | Домашнее задание 1 доступно по [https://drive.google.com/file/d/1AwDB_Nfpto4T1UtKLEknRLvP_ZdUz0GU/view?usp=sharing ссылке], срок сдачи 26 февраля 23:59. | |
=== Контрольная работа === | === Контрольная работа === |
Версия 21:58, 19 февраля 2022
Содержание
О курсе
Курс читается для студентов 4-го курса в 3 модуле.
Лектор — Аржанцев Иван Владимирович
Семинарист — Зайцева Юлия Ивановна
Ассистент — Попкович Александр
Лекции
Проходят по средам в 11:10.
Лекция 1 (12.01.2022): Кольца и идеалы. Конечно порожденные идеалы и нётеровы кольца. Факторкольца. Конечно порожденные модули и подмодули. Теорема Гильберта о базисе. Мономиальный порядок на множестве мономов. Лемма Гордана. Старший член многочлена от многих переменных. Лемма о старшем члене.
Лекция 2 (19.01.2022): Алгоритм деления. Оператор редукции. Нормальная форма многочлена. Базис Грёбнера идеала. Критерий Бухбергера и алгоритм Бухбергера. Минимальный базис Грёбнера и его единственность.
Лекция 3 (26.01.2022): Универсальный базис Грёбнера и его существование. Алгебраическое подмножество. Алгебра регулярных функций. Аффинное алгебраическое многообразие.
Лекция 4 (02.02.2022): Радикал идеала. Радикальный идеал. Теорема Гильберта о нулях. Максимальный идеал. Слабая версия теоремы Гильберта о нулях. Cooтветствие между максимальными идеалами и точками многообразия. Морфизмы и изоморфизмы многообразий. Аффинные алгебры. Спектр алгебры.
Лекция 5 (09.02.2022): Топологическое пространство. База топологии. Топология Зарисского. Главные открытые подмножества. Непрерывность морфизмов. Плотные подмножества и неприводимые пространства. Нетеровы топологические пространства. Неприводимые компоненты. Открытые, замкнутые и доминантные морфизмы. Замкнутые вложения.
Семинары
Проходят по субботам в 14:40.
Чат в телеграм: https://t.me/+Mxs1mQbQnSdmMzZi
Семинар 1 (15.01.2022): Идеалы в кольцах. Многочлены от одной переменной: деление с остатком, кольцо главных идеалов, наибольший общий делитель. Контрпримеры в случае нескольких переменных. Альтернативное доказательство леммы Гордана.
Семинар 2 (22.01.2022): Мономиальные порядки. Алгоритм деления на набор многочленов от нескольких переменных. Идеал старших членов, доказательство теоремы Гильберта о базисе через лемму Гордана. Базис Грёбнера, критерий Бухбергера, алгоритм Бухбергера, минимальный базис Грёбнера.
Семинар 3 (29.01.2022): Пример поиска базиса Грёбнера и минимального базиса Грёбнера, разные упрощения. Алгебраические подмножества, примеры. Пересечение и объединение двух алгебраических подмножеств. Алгебры регулярных функций параболы и окружности. Радикал идеала, пример нерадикального идеала. Слабая теорема Гильберта о нулях как следствие теоремы Гильберта о нулях.
Семинар 4 (05.02.2022): Включения алгебраических подмножеств, идеалов и их радикалов. Максимальные идеалы. Отображение функций на множествах и алгебраических многообразиях.
Семинар 5 (12.02.2022): Изоморфизм алгебраических многообразий, примеры с параболой и полукубической параболой. Нормальное многообразие. Неприводимые компоненты. Доминантные и сюръективные морфизмы.
Семинар 6 (19.02.2022): Морфизмы из прямой в гиперболу. Задачи на применение базисов Грёбнера: принадлежность многочлена идеалу, решение системы полиномиальных уравнений, замыкание образа при морфизме, исключительные идеалы.
Контрольные мероприятия
Домашние задания
Домашнее задание 1 доступно по ссылке, срок сдачи 26 февраля 23:59.
Контрольная работа
Экзамен
Экзамен проводится в устной форме.
Правила выставления оценок
Итоговая оценка вычисляется по формуле
- Округление(0.15*ДЗ1 + 0.15*ДЗ2 + 0.3*КР + 0.4*ЭК),
где ДЗ1 – оценка за домашнее задание № 1, ДЗ2 – оценка за домашнее задание № 2, КР – оценка за контрольную работу и ЭК – оценка за устный экзамен.
Округление арифметическое.
Блокирующих элементов контроля в курсе нет. Автоматы не выставляются. Оценка на комиссии выставляется по результатам ответа без учета других элементов контроля.
Список литературы
Рекомендуемая основная литература:
[1] Дж.Дэвенпорт, И.Сирэ и Э.Турнье. Компьютерная алгебра. Системы и алгоритмы алгебраических вычислений. М.: Мир, 1991
[2] Д.Кокс, Дж.Литтл, Д.О’Ши. Идеалы, многообразия и алгоритмы. Введение в вычислительные аспекты алгебраической геометрии и коммутативной алгебры. М.: Мир, 2000
[3] V.Ene and J.Herzog. Groebner Bases in Commutative Algebra. Graduate Studies in Mathematics 130, American Mathematical Society, Providence, RI, 2011
Рекомендуемая дополнительная литература:
[1] А.Акритас. Основы компьютерной алгебры с приложениями. М.: Мир, 1994
[2] Введение в криптографию. Под редакцией В.В.Ященко. М.: МЦНМО, 2012
[3] Э.Б. Винберг. Курс алгебры (4-е издание). М.: МЦНМО, 2019
[4] С.Г.Влэдуц, Д.Ю.Ногин и М.А.Цфасман. Алгеброгеометрические коды. М.: МЦНМО, 2003
[5] Н.Коблиц. Курс теории чисел и криптографии. М.; ТВП, 2001
[6] А.Ромащенко, А.Румянцев и А.Шень. Заметки по теории кодирования (2-е издание). М.: МЦНМО, 2017
[7] Сборник задач по алгебре под редакцией А.И. Кострикина. Новое издание. М.: МЦНМО, 2009
[8] T.Becker, H.Kredel, V.Weispfenning. Groebner Bases: A Computational Approach to Commutative Algebra. Graduate Texts in Mathematics, Springer, 1993
[9] D.Cox, J.Little, D.O'Shea. Using Algebraic Geometry. 2nd Edition. Graduate Texts in Mathematics, vol. 185, Springer, 2005
[10] B.Sturmfels. Groebner Bases and Convex Polytopes. University Lecture Series, vol. 8, American Mathematical Society, Providence, RI, 1996