Версия 11:44, 13 июня 2019

Преподаватели и учебные ассистенты

Расписание консультаций

Порядок формирования оценок

Накопленная оценка вычисляется по следующей формуле:

O_{накопленная} = 0,6 * O_дз + 0,4 * O_к/р,

где O_дз1 — оценка за домашние задания, O_к/р — оценка за контрольную работу.

Итоговая оценка выражается через накопленную и оценку за экзамен следующим образом:

O_{итоговая} = 0,5 * O_{накопленная} + 0,5 * О_экз.

Округление производится только для итоговой оценки. Способ округления — арифметический.

Краткое содержание лекций

Лекция 1 (1.04.2019). Бинарные операции. Полугруппы, моноиды, группы, коммутативные (абелевы) группы. Порядок группы. Примеры групп. Подгруппы. Описание всех подгрупп в группе целых чисел по сложению. Циклические подгруппы. Порядок элемента группы. Связь между порядком элемента и порядком порождаемой им циклической подгруппы. Циклические группы. Левые смежные классы группы по подгруппе, разбиение группы на левые смежные классы. Индекс подгруппы, теорема Лагранжа.

Лекция 2 (8.04.2019). Пять следствий из теоремы Лагранжа. Нормальные подгруппы. Факторгруппа группы по нормальной подгруппе. Гомоморфизмы групп, простейшие свойства. Изоморфизм групп, изоморфные группы. Ядро и образ гомоморфизма групп. Теорема о гомоморфизме для групп. Классификация циклических групп с точностью до изоморфизма.

Лекция 3 (15.04.2019). Прямое произведение групп и разложение группы в прямое произведение подгрупп. Разложение конечной циклической группы. Подгруппа p-кручения в абелевой группе. Разложение конечной абелевой группы в прямое произведение подгрупп p-кручения. Примарные абелевы группы. Теорема о разложении конечной абелевой группы в прямое произведение примарных циклических групп, доказательство единственности числа и порядков примарных циклических множителей. Экспонента конечной абелевой группы, критерий цикличности. Криптография с открытым ключом. Задача дискретного логарифмирования.

Лекция 4 (22.04.2019). Система Диффи–Хеллмана обмена ключами. Криптосистема Эль–Гамаля. Понятие кольца, примеры. Коммутативные кольца. Обратимые элементы, делители нуля, нильпотенты. Поля. Критерий того, что кольцо вычетов является полем. Подкольца, подполя, гомоморфизмы, изоморфизмы. Идеалы в кольце. Главные идеалы и идеалы, порождённые подмножеством коммутативного кольца. Факторкольцо кольца по идеалу. Ядро и образ гомоморфизма колец. Теорема о гомоморфизме для колец (формулировка).

Лекция 5 (29.04.2019). Доказательство теоремы о гомоморфизме для колец. Делимость в коммутативных кольцах без делителей нуля. Ассоциированные элементы. Наибольший общий делитель двух элементов. Кольца главных идеалов. Существование наибольшего общего делителя для двух элементов a и b кольца главных идеалов и его линейная выразимость через a и b. Простые элементы. Факториальные кольца. Деление с остатком в кольце многочленов от одной переменной над полем. Теорема о том, что кольцо многочленов от одной переменной над полем является кольцом главных идеалов. Факториальность кольца многочленов от одной переменной над полем. Неприводимые многочлены.

Лекция 6 (13.05.2019). Лексикографический порядок на одночленах от нескольких переменных. Лемма о конечности убывающих цепочек одночленов. Старший член ненулевого многочлена. Элементарная редукция многочлена относительно ненулевого многочлена. Нередуцируемые многочлены. Лемма о конечности цепочек элементарных редукций. Остаток многочлена относительно заданной системы многочленов. Системы Грёбнера. Характеризация систем Грёбнера в терминах цепочек элементарных редукций. S-многочлены. Критерий Бухбергера (формулировка).

Лекция 7 (20.05.2019). Доказательство критерия Бухбергера. Теорема Гильберта о базисе идеала (без доказательства). Базис Грёбнера идеала, теорема о трёх эквивалентных условиях. Решение задачи вхождения многочлена в идеал. Лемма о конечности цепочек одночленов, в которых каждый следующий одночлен не делится ни на один из предыдущих. Алгоритм Бухбергера построения базиса Грёбнера идеала. Редуцируемость к нулю S-многочлена двух многочленов с взаимно простыми старшими членами.

Лекция 8 (27.05.2019). Поля. Характеристика поля. Расширение полей, его степень. Степень композиции двух расширений. Критерий того, что факторкольцо K[x]/(h) является полем. Свойства поля K[x]/(h), где h — неприводимый многочлен. Существование конечного расширения исходного поля, в котором заданный многочлен имеет корень. Поле разложения многочлена. Алгебраические и трансцендентные элементы. Минимальный многочлен алгебраического элемента и его свойства. Поле, порождённое алгебраическим элементом.

Лекция 9 (3.06.2019). Конечные поля. Порядок конечного поля. Автоморфизм Фробениуса. Существование и единственность конечного поля, порядок которого — степень простого числа. Поле из четырёх элементов. Цикличность мультипликативной группы конечного поля. Неприводимые многочлены над полем вычетов. Описание подполей конечного поля.

Листки с задачами

Листок с задачами к лекции N содержит в себе N-е домашнее задание.

Задачи к лекции 1

Задачи к лекции 2

Задачи к лекции 3

Задачи к лекции 4

Задачи к лекции 5

Задачи к лекции 6

Задачи к лекции 7

Задачи к лекции 8

Задачи к лекции 9

Задачи к лекции 10

Контрольная работа

Дата-время-место: 11 июня, 15:10, аудитории 622 (группы 185, 186, 188, 189) и 509 (группы 183, 187)

На контрольной можно пользоваться любыми материалами на бумажных носителях. Использование электронных устройств (кроме тех, у которых единственная функция — калькулятор) запрещено.

Типы задач на контрольной работе

• Порядки элементов и подгруппы в конечных абелевых группах [60.39, 60.40, 60.42, 60.43, 60.45]
• Алгоритм Евклида и линейное представление НОД в кольце многочленов [25.2, 25.3, 25.7]
• Разложение многочленов на неприводимые множители над полями R, C и Z_p [27.1, 27.2, ещё примеры]
• Базисы Грёбнера и задача вхождения [примеры]
• Минимальные многочлены и вычисления в конечных расширениях полей [67.3, 67.13]
• Системы линейных уравнений с коэффициентами в конечном поле [примеры]

Для каждого типа в скобках указаны задачи, рекомендуемые к прорешиванию в качестве тренировки (номера даны по Сборнику задач по алгебре под редакцией А.И. Кострикина).

Экзамен

Формат экзамена: устный, по билетам (в каждом по два вопроса из программы)

Ведомости текущего контроля

Литература

• Э.Б. Винберг. Курс алгебры. М.: Факториал Пресс, 2002.
• А.И. Кострикин. Введение в алгебру. Основы алгебры. М.: Наука. Физматлит, 1994.
• А.И. Кострикин. Введение в алгебру. Основные структуры алгебры. М.: Наука. Физматлит, 2000.
• Сборник задач по алгебре под редакцией А.Н. Кострикина. Новое издание. М.: МЦНМО, 2009.
• Р. Лидл, Г. Нидеррайтер. Конечные поля (2 тома). М.: Мир, 1988.
• И.В. Аржанцев. Базисы Грёбнера и системы алгебраических уравнений. М.: МЦНМО, 2003.