Алгебра 2014/2015 — различия между версиями
Ravdeev (обсуждение | вклад) (→Конспекты лекций) |
Ravdeev (обсуждение | вклад) |
||
| (не показано 8 промежуточных версии 2 участников) | |||
| Строка 1: | Строка 1: | ||
| − | Цель этого небольшого курса — познакомить слушателей с основными структурами современной алгебры. Первые пять лекций посвящены теории групп, последние пять — кольцам и полям. Мы | + | Цель этого небольшого курса — познакомить слушателей с основными структурами современной алгебры. Первые пять лекций посвящены теории групп, последние пять — кольцам и полям. Мы доказали базовые факты об этих структурах и продемонстрировали их возможные приложения. Сдавшие этот курс могут, среди прочего, перечислить с точностью до изоморфизма все коммутативные группы из 100 элементов, найти сумму кубов корней данного многочлена, доказать, что многочлен от многих переменных однозначно раскладывается на простые множители, и объяснить, почему не существует поля из 6 элементов. |
== Преподаватели и учебные ассистенты == | == Преподаватели и учебные ассистенты == | ||
| Строка 49: | Строка 49: | ||
=== Домашняя работа === | === Домашняя работа === | ||
| − | Домашние задания условно разделены на две части, каждая из которых содержит по 20 задач. Первая часть (по теории групп) состоит из 5 блоков по 4 задачи в каждом, вторая часть (по кольцам и полям) состоит из 4 блоков по 5 задач в каждом. Домашние задания | + | Домашние задания условно разделены на две части, каждая из которых содержит по 20 задач. Первая часть (по теории групп) состоит из 5 блоков по 4 задачи в каждом, вторая часть (по кольцам и полям) состоит из 4 блоков по 5 задач в каждом. Домашние задания выдавались на каждом семинаре, по одному блоку задач за раз. |
| − | '''Важно:''' при обнаружении двух и более одинаковых решений в работах разных студентов результаты | + | '''Важно:''' при обнаружении двух и более одинаковых решений в работах разных студентов результаты аннулировались независимо от того, кто у кого списал. |
| − | Результаты выполнения первой части домашних заданий | + | Результаты выполнения первой части домашних заданий были отражены в оценке O<sub>дз1</sub>, вычисляемой по формуле |
O<sub>дз1</sub> = 0,5 * (число решённых задач из первой части). | O<sub>дз1</sub> = 0,5 * (число решённых задач из первой части). | ||
| − | Аналогично, работа над второй частью домашних заданий | + | Аналогично, работа над второй частью домашних заданий выливалась в оценку O<sub>дз2</sub>: |
O<sub>дз2</sub> = 0,5 * (число решённых задач из второй части). | O<sub>дз2</sub> = 0,5 * (число решённых задач из второй части). | ||
| Строка 67: | Строка 67: | ||
На контрольной можно было пользоваться любыми материалами на бумажных носителях. Использование электронных устройств (кроме тех, у которых единственная функция — калькулятор) не допускалось. | На контрольной можно было пользоваться любыми материалами на бумажных носителях. Использование электронных устройств (кроме тех, у которых единственная функция — калькулятор) не допускалось. | ||
| − | [https://www.dropbox.com/s/ | + | [https://www.dropbox.com/s/urmsbzp3aikrx75/Control_Work_Algebra.pdf?dl=0 '''Задачи с контрольной'''] |
'''Комментарии к оценкам за контрольную''' | '''Комментарии к оценкам за контрольную''' | ||
| Строка 77: | Строка 77: | ||
Задача 3. Как правило, 1 балл выставлялся в случае, когда решение не доведено до конца, но есть существенные продвижения. | Задача 3. Как правило, 1 балл выставлялся в случае, когда решение не доведено до конца, но есть существенные продвижения. | ||
| − | Задача 4. | + | Задача 4. Из-за большой сложности вычислений полные решения этой задачи были оценены в 3 балла. Общий критерий: число баллов за эту задачу равно числу правильно вычисленных коэффициентов результирующего многочлена. |
Задача 5. Если в работе вычислен только наибольший общий делитель данных многочленов, то это оценивалось в 1 балл. | Задача 5. Если в работе вычислен только наибольший общий делитель данных многочленов, то это оценивалось в 1 балл. | ||
| Строка 83: | Строка 83: | ||
Задача 6. Неполные решения, в которых удалось избавиться от иррациональности в знаменателе, оценивались в 1 балл. | Задача 6. Неполные решения, в которых удалось избавиться от иррациональности в знаменателе, оценивались в 1 балл. | ||
| − | '''Показ работ''' контрольной | + | '''Показ работ''' контрольной прошёл 15 июня с 15:10 до 16:30 в ауд. 622. |
==== Типы задач на контрольной работе ==== | ==== Типы задач на контрольной работе ==== | ||
| Строка 94: | Строка 94: | ||
* Минимальные многочлены и вычисления в конечных расширениях полей [67.3, 67.13] | * Минимальные многочлены и вычисления в конечных расширениях полей [67.3, 67.13] | ||
| − | Для каждого типа в скобках указаны номера задач из Сборника задач по алгебре под редакцией А.И. Кострикина (М.: МЦНМО, 2009), которые | + | Для каждого типа в скобках указаны номера задач из Сборника задач по алгебре под редакцией А.И. Кострикина (М.: МЦНМО, 2009), которые рекомендовалось решать для тренировки. |
=== Экзамен === | === Экзамен === | ||
| − | Экзамен | + | Экзамен был устный. Каждый билет включал в себя по два вопроса из программы курса. |
| − | [https://www.dropbox.com/s/ | + | [https://www.dropbox.com/s/c5k3ier3z6stdkq/Program_Algebra.pdf?dl=0 '''Программа курса'''] |
==== Расписание экзаменов ==== | ==== Расписание экзаменов ==== | ||
| Строка 117: | Строка 117: | ||
=== Порядок формирования оценок === | === Порядок формирования оценок === | ||
| − | Накопленная оценка | + | Накопленная оценка вычислялась по следующей формуле: |
O<sub>накопленная</sub> = 0,3 * O<sub>дз1</sub> + 0,3 * O<sub>дз2</sub> + 0,4 * O<sub>к/р</sub>, | O<sub>накопленная</sub> = 0,3 * O<sub>дз1</sub> + 0,3 * O<sub>дз2</sub> + 0,4 * O<sub>к/р</sub>, | ||
| Строка 123: | Строка 123: | ||
где O<sub>дз1</sub> — оценка за первое домашнее задание, O<sub>дз2</sub> — оценка за второе домашнее задание, O<sub>к/р</sub> — оценка за контрольную работу. | где O<sub>дз1</sub> — оценка за первое домашнее задание, O<sub>дз2</sub> — оценка за второе домашнее задание, O<sub>к/р</sub> — оценка за контрольную работу. | ||
| − | Итоговая оценка | + | Итоговая оценка выражалась через накопленную и оценку за экзамен следующим образом: |
O<sub>итоговая</sub> = 0,5 * O<sub>накопленная</sub> + 0,5 * О<sub>экз</sub>. | O<sub>итоговая</sub> = 0,5 * O<sub>накопленная</sub> + 0,5 * О<sub>экз</sub>. | ||
| − | Округление | + | Округление производилось только для итоговой оценки. Способ округления — арифметический. |
== Конспекты лекций == | == Конспекты лекций == | ||
| − | В этом разделе | + | В этом разделе выложены подготовленные И.В. Аржанцевым (и местами дополненные Р.С. Авдеевым) конспекты всех лекций курса. Содержание этих конспектов может незначительно отличаться от материала, фактически прочитанного на лекциях. |
| − | [https://www.dropbox.com/s/ | + | [https://www.dropbox.com/s/ub0xg2ttudvaz1f/Algebra_Lecture_01.pdf?dl=0 '''Лекция 1'''] (2.04.2015). Полугруппы и группы: основные определения и примеры. Группы подстановок и группы матриц. Подгруппы. Порядок элемента и циклические подгруппы. Смежные классы и индекс подгруппы. Теорема Лагранжа и её следствия |
| − | [https://www.dropbox.com/s/ | + | [https://www.dropbox.com/s/v07oln4vxkj1fug/Algebra_Lecture_02.pdf?dl=0 '''Лекция 2'''] (9.04.2015). Нормальные подгруппы. Факторгруппы и теорема о гомоморфизме. Центр группы. Прямое произведение групп. Факторизация по сомножителям. Разложение конечной циклической группы |
| − | [https://www.dropbox.com/s/ | + | [https://www.dropbox.com/s/m0u8o0unnfe9cvf/Algebra_Lecture_03.pdf?dl=0 '''Лекция 3'''] (16.04.2015). Конечно порождённые и свободные абелевы группы. Подгруппы свободных абелевых групп. Теорема о согласованных базисах. Алгоритм приведения целочисленной матрицы к диагональному виду |
| − | [https://www.dropbox.com/s/ | + | [https://www.dropbox.com/s/gkihmqrhilivzvc/Algebra_Lecture_04.pdf?dl=0 '''Лекция 4'''] (23.04.2015). Строение конечно порождённых абелевых групп. Конечные абелевы группы. Экспонента конечной абелевой группы |
| − | [https://www.dropbox.com/s/ | + | [https://www.dropbox.com/s/fe0kksq74ksprvn/Algebra_Lecture_05.pdf?dl=0 '''Лекция 5'''] (30.04.2015). Действие группы на множестве. Орбиты и стабилизаторы. Транзитивные и свободные действия. Три действия группы на себе. Классы сопряжённости. Теорема Кэли |
| − | [https://www.dropbox.com/s/ | + | [https://www.dropbox.com/s/1uqih1xswsnhqfe/Algebra_Lecture_06.pdf?dl=0 '''Лекция 6'''] (14.05.2015). Кольца. Делители нуля, обратимые элементы, нильпотенты и идемпотенты. Поля и алгебры. Идеалы и факторкольца. Теорема о гомоморфизме. Центр алгебры матриц над полем. Простота алгебры матриц над полем |
| − | [https://www.dropbox.com/s/ | + | [https://www.dropbox.com/s/fjd7zvsa04lz5ef/Algebra_Lecture_07.pdf?dl=0 '''Лекция 7'''] (21.05.2015). Евклидовы кольца, кольца главных идеалов и факториальные кольца. Факториальность кольца многочленов от многих переменных |
| − | [https://www.dropbox.com/s/ | + | [https://www.dropbox.com/s/0uq6u0lrh7pn8u4/Algebra_Lecture_08.pdf?dl=0 '''Лекция 8'''] (28.05.2015). Элементарные симметрические многочлены. Основная теорема о симметрических многочленах. Лексикографический порядок. Теорема Виета. Дискриминант многочлена |
| − | [https://www.dropbox.com/s/ | + | [https://www.dropbox.com/s/bnns7m7wi9465i8/Algebra_Lecture_09.pdf?dl=0 '''Лекция 9'''] (4.06.2015). Примеры полей. Характеристика поля. Расширения полей, алгебраические и трансцендентные элементы. Минимальный многочлен. Конечное расширение и его степень. Присоединение корня многочлена. Поле разложения многочлена: существование и единственность |
| − | [https://www.dropbox.com/s/ | + | [https://www.dropbox.com/s/km9x86i9pthgpen/Algebra_Lecture_10.pdf?dl=0 '''Лекция 10'''] (11.06.2015). Конечные поля. Простое подполе и порядок конечного поля. Автоморфизм Фробениуса. Теорема существования и единственности для конечных полей. Поле из четырёх элементов. Цикличность мультипликативной группы конечного поля. Неприводимые многочлены над конечным полем. Подполя конечного поля. |
== Листки с задачами == | == Листки с задачами == | ||
| − | [https://www.dropbox.com/s/ | + | [https://www.dropbox.com/s/q2ozwocynk0q640/Problems01.pdf?dl=0 '''Задачи к лекции 1'''] |
| − | [https://www.dropbox.com/s/ | + | [https://www.dropbox.com/s/662a61q2i8hlhw4/Problems02.pdf?dl=0 '''Задачи к лекции 2'''] |
| − | [https://www.dropbox.com/s/ | + | [https://www.dropbox.com/s/nituwxj72g68px5/Problems03.pdf?dl=0 '''Задачи к лекции 3'''] |
| − | [https://www.dropbox.com/s/ | + | [https://www.dropbox.com/s/8mta2o8nvjv09bg/Problems04.pdf?dl=0 '''Задачи к лекции 4'''] |
| − | [https://www.dropbox.com/s/ | + | [https://www.dropbox.com/s/ejm7y3q8j1bjj5m/Problems05.pdf?dl=0 '''Задачи к лекции 5'''] |
| − | [https://www.dropbox.com/s/ | + | [https://www.dropbox.com/s/ewxmag4u2f1j8v6/Problems06.pdf?dl=0 '''Задачи к лекции 6'''] |
| − | [https://www.dropbox.com/s/ | + | [https://www.dropbox.com/s/o4nimy0gqecmu5b/Problems07.pdf?dl=0 '''Задачи к лекции 7'''] |
| − | [https://www.dropbox.com/s/ | + | [https://www.dropbox.com/s/tiiwcak8e0ssnt7/Problems08.pdf?dl=0 '''Задачи к лекции 8'''] |
| − | [https://www.dropbox.com/s/ | + | [https://www.dropbox.com/s/vhl5p1fa7ornzyk/Problems09.pdf?dl=0 '''Задачи к лекции 9'''] |
| − | [https://www.dropbox.com/s/ | + | [https://www.dropbox.com/s/iul8wjap2lc8a0d/Problems10.pdf?dl=0 '''Задачи к лекции 10'''] |
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
== Ведомости текущего контроля == | == Ведомости текущего контроля == | ||
Текущая версия на 00:17, 4 апреля 2016
Цель этого небольшого курса — познакомить слушателей с основными структурами современной алгебры. Первые пять лекций посвящены теории групп, последние пять — кольцам и полям. Мы доказали базовые факты об этих структурах и продемонстрировали их возможные приложения. Сдавшие этот курс могут, среди прочего, перечислить с точностью до изоморфизма все коммутативные группы из 100 элементов, найти сумму кубов корней данного многочлена, доказать, что многочлен от многих переменных однозначно раскладывается на простые множители, и объяснить, почему не существует поля из 6 элементов.
Содержание
Преподаватели и учебные ассистенты
| Группа | 101 | 102 | 103 | 104 | 105 | 106 | 107 | 108 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Лектор | Иван Владимирович Аржанцев | Роман Сергеевич Авдеев | ||||||
| Семинарист | Роман Сергеевич Авдеев | Иван Владимирович Аржанцев | Полина Юрьевна Котенкова | Роман Сергеевич Авдеев | Андрей Александрович Кустарёв | |||
| Ассистент | Виктор Табаков | Андрей Васильев | Ярослав Хроменков | Роман Кизилов | Максим Каледин | Екатерина Соколова | Фёдор Коган | Дмитрий Петров |
Расписание консультаций
| Преподаватель/ассистент | понедельник | вторник | среда | четверг | пятница | |
|---|---|---|---|---|---|---|
| |
Иван Владимирович Аржанцев | 17:00–18:30, каб. 603 | ||||
| |
Роман Сергеевич Авдеев | 18:10–18:50, ауд. 313 | 13:40–14:20, ауд. 313 | |||
| |
Полина Юрьевна Котенкова | 18:10–19:30, ауд. 313 | ||||
| |
Андрей Александрович Кустарёв | 16:40–17:40, ауд. 313 | ||||
| |
Виктор Табаков | 15:10–16:30, ауд. 312 | ||||
| |
Андрей Васильев | 18:10–19:30, ауд. 511 | ||||
| |
Ярослав Хроменков | 12:10–13:30, ауд. 313 | ||||
| |
Роман Кизилов | 13:40–15:00, ауд. 314 | ||||
| |
Максим Каледин | 13:40–15:00, ауд. 511 | ||||
| 10 | Екатерина Соколова | 15:10–16:30, ауд. 314 | ||||
| 11 | Фёдор Коган | 16:40–18:00, ауд. 314 | ||||
| 12 | Дмитрий Петров | 15:10–16:30, ауд. 511 |
Формы контроля знаний студентов
Домашняя работа
Домашние задания условно разделены на две части, каждая из которых содержит по 20 задач. Первая часть (по теории групп) состоит из 5 блоков по 4 задачи в каждом, вторая часть (по кольцам и полям) состоит из 4 блоков по 5 задач в каждом. Домашние задания выдавались на каждом семинаре, по одному блоку задач за раз.
Важно: при обнаружении двух и более одинаковых решений в работах разных студентов результаты аннулировались независимо от того, кто у кого списал.
Результаты выполнения первой части домашних заданий были отражены в оценке Oдз1, вычисляемой по формуле
Oдз1 = 0,5 * (число решённых задач из первой части).
Аналогично, работа над второй частью домашних заданий выливалась в оценку Oдз2:
Oдз2 = 0,5 * (число решённых задач из второй части).
Контрольная работа
Письменная контрольная работа была проведена одновременно для всех групп 13 июня с 13:40 до 15:00 (1-й поток — ауд. 509, 2-й поток — ауд. 622). Работа состояла из шести задач стоимостью по 2 балла каждая.
На контрольной можно было пользоваться любыми материалами на бумажных носителях. Использование электронных устройств (кроме тех, у которых единственная функция — калькулятор) не допускалось.
Комментарии к оценкам за контрольную
Задача 1. Как правило, 1 балл выставлялся в том случае, когда было правильно найдено число элементов нужного порядка в группе.
Задача 2. Если метод верный и решение доведено до конца, но на каком-то шаге процесса допущена арифметическая ошибка (или ошибка по невнимательности), то это оценивалось в 1 балл даже в случае неправильного ответа.
Задача 3. Как правило, 1 балл выставлялся в случае, когда решение не доведено до конца, но есть существенные продвижения.
Задача 4. Из-за большой сложности вычислений полные решения этой задачи были оценены в 3 балла. Общий критерий: число баллов за эту задачу равно числу правильно вычисленных коэффициентов результирующего многочлена.
Задача 5. Если в работе вычислен только наибольший общий делитель данных многочленов, то это оценивалось в 1 балл.
Задача 6. Неполные решения, в которых удалось избавиться от иррациональности в знаменателе, оценивались в 1 балл.
Показ работ контрольной прошёл 15 июня с 15:10 до 16:30 в ауд. 622.
Типы задач на контрольной работе
- Порядки элементов и подгруппы в конечных абелевых группах [60.39, 60.40, 60.42, 60.43, 60.45]
- Факторгруппы свободных абелевых групп [60.52, 60.53, 60.54]
- Орбиты и стабилизаторы для действий групп на множествах [57.1, 57.2, 57.3, 57.9]
- Симметрические многочлены и теорема Виета [31.2, 31.3. 31.4, 31.9, 31.10, 31.25, 31.26]
- Алгоритм Евклида и линейное представление НОД в кольце многочленов [25.2, 25.3, 25.5, 25.7]
- Минимальные многочлены и вычисления в конечных расширениях полей [67.3, 67.13]
Для каждого типа в скобках указаны номера задач из Сборника задач по алгебре под редакцией А.И. Кострикина (М.: МЦНМО, 2009), которые рекомендовалось решать для тренировки.
Экзамен
Экзамен был устный. Каждый билет включал в себя по два вопроса из программы курса.
Расписание экзаменов
| Группа | 101 | 102 | 103 | 104 | 105 | 106 | 107 | 108 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Дата | 19 июня | 20 июня | ||||||
| Время | 10:30 | 12:10 | 13:40 | 15:10 | 10:30 | 12:10 | 13:40 | 15:10 |
| Аудитория | 622 | |||||||
Порядок формирования оценок
Накопленная оценка вычислялась по следующей формуле:
Oнакопленная = 0,3 * Oдз1 + 0,3 * Oдз2 + 0,4 * Oк/р,
где Oдз1 — оценка за первое домашнее задание, Oдз2 — оценка за второе домашнее задание, Oк/р — оценка за контрольную работу.
Итоговая оценка выражалась через накопленную и оценку за экзамен следующим образом:
Oитоговая = 0,5 * Oнакопленная + 0,5 * Оэкз.
Округление производилось только для итоговой оценки. Способ округления — арифметический.
Конспекты лекций
В этом разделе выложены подготовленные И.В. Аржанцевым (и местами дополненные Р.С. Авдеевым) конспекты всех лекций курса. Содержание этих конспектов может незначительно отличаться от материала, фактически прочитанного на лекциях.
Лекция 1 (2.04.2015). Полугруппы и группы: основные определения и примеры. Группы подстановок и группы матриц. Подгруппы. Порядок элемента и циклические подгруппы. Смежные классы и индекс подгруппы. Теорема Лагранжа и её следствия
Лекция 2 (9.04.2015). Нормальные подгруппы. Факторгруппы и теорема о гомоморфизме. Центр группы. Прямое произведение групп. Факторизация по сомножителям. Разложение конечной циклической группы
Лекция 3 (16.04.2015). Конечно порождённые и свободные абелевы группы. Подгруппы свободных абелевых групп. Теорема о согласованных базисах. Алгоритм приведения целочисленной матрицы к диагональному виду
Лекция 4 (23.04.2015). Строение конечно порождённых абелевых групп. Конечные абелевы группы. Экспонента конечной абелевой группы
Лекция 5 (30.04.2015). Действие группы на множестве. Орбиты и стабилизаторы. Транзитивные и свободные действия. Три действия группы на себе. Классы сопряжённости. Теорема Кэли
Лекция 6 (14.05.2015). Кольца. Делители нуля, обратимые элементы, нильпотенты и идемпотенты. Поля и алгебры. Идеалы и факторкольца. Теорема о гомоморфизме. Центр алгебры матриц над полем. Простота алгебры матриц над полем
Лекция 7 (21.05.2015). Евклидовы кольца, кольца главных идеалов и факториальные кольца. Факториальность кольца многочленов от многих переменных
Лекция 8 (28.05.2015). Элементарные симметрические многочлены. Основная теорема о симметрических многочленах. Лексикографический порядок. Теорема Виета. Дискриминант многочлена
Лекция 9 (4.06.2015). Примеры полей. Характеристика поля. Расширения полей, алгебраические и трансцендентные элементы. Минимальный многочлен. Конечное расширение и его степень. Присоединение корня многочлена. Поле разложения многочлена: существование и единственность
Лекция 10 (11.06.2015). Конечные поля. Простое подполе и порядок конечного поля. Автоморфизм Фробениуса. Теорема существования и единственности для конечных полей. Поле из четырёх элементов. Цикличность мультипликативной группы конечного поля. Неприводимые многочлены над конечным полем. Подполя конечного поля.
Листки с задачами
Ведомости текущего контроля
Литература
- Э.Б. Винберг. Курс алгебры. М.: Факториал Пресс, 2002.
- А.И. Кострикин. Введение в алгебру. Основы алгебры. М.: Наука. Физматлит, 1994.
- А.И. Кострикин. Введение в алгебру. Основные структуры алгебры. М.: Наука. Физматлит, 2000.
- Сборник задач по алгебре под редакцией А.Н. Кострикина. Новое издание. М.: МЦНМО, 2009.
