Алгоритмы и структуры данных. Подгруппа 105-1 — различия между версиями

Версия 15:35, 15 января 2015 (просмотреть исходный код) Kassalanche (обсуждение | вклад) ← Предыдущая правка		Версия 23:48, 15 января 2015 (просмотреть исходный код) Kassalanche (обсуждение | вклад) (→‎Домашнее задание (15.01-29.01)) Следующая правка →
Строка 32:		Строка 32:
	===Домашнее задание (15.01-29.01)===		===Домашнее задание (15.01-29.01)===
−	#	+	Везде, где требуется написать алгоритм, можно использовать любой язык программирования или псевдокод.
−	#	+
−	#	+	====Задачи====
		+	# Сколько строк напечатает программа? Запишите рекуррентное соотношение и решите его, то есть, выведите замкнутую (нерекуррентную формулу). Можно считать, что n является степенью двойки.
		+	Функция F(n)
		+	если n > 1:
		+	напечатать "всё ещё работаю"
		+	F(n/2)
		+	F(n/2)
		+	# В массиве A размера n записана возрастающая последовательность целых чисел. Постройте алгоритм типа "разделяй и властвуй", который проверяет, существует ли такой индекс i, что A[i] = i
		+	#* за время O(n),
		+	#* * за время O(log n),
		+	#* какие случаи для вашего алгоритма являются наихудшими и наилучшими? Какого время работы в лучшем и худшем случаях?
		+	# Дан бесконечный массив A, первые n элементов которого содержат возрастающую последовательность положительных чисел, а дальше стоит -1. Значение n не дано. Постройте алгоритм, который получает на вход целое число x и находит это x в массиве --- или говорит, что там его нет, за время O(log n).
		+	# Рассмотрим алгоритм вычисления наибольшего общего делителя (НОД) двух положительных чисел, основанный на методе "разделяй и властвуй". (Перед выполнением рекомендуется прочитать "Алгоритмы", параграф 1.2.3 Алгоритм Евклида)
		+	#* * Докажите, что<source lang="cpp">2НОД(a/2, b/2), если а и b чётны,\nНОД(a,b) = 2НОД(a, b/2), если а нечётно, b чётно,
		+	НОД((a-b)/2, b), если а и b нечётны,</source>
		+	#* Посторойте алгоритм, основанный на этом соотношении.
		+	# Какой алгоритм будет быстрее для n-битовых чисел a и b при больших значениях n --- ваш или алгоритм Евклида?
		+
		+	Задачи взяты из книги "Алгоритмы", глава 2
	==(19.01) Анализ рекуррентных соотношений==		==(19.01) Анализ рекуррентных соотношений==
	===План занятия===		===План занятия===

---

Версия 23:48, 15 января 2015

Оценивание

В каждом домашнем задании для получения максимального балла требуется решить или все задачи без звёздочек, или все задачи со звёздочками. Решения после установленного дедлайна не принимаются.

(12.01) Мотивация к изучению алгоритмов. Подсчёт числа операций

План занятия

1. Числа Фибоначчи. Определение. Примитивный рекурсивный алгоритм вычисления i-ого числа. Оценка числа операций. Анализ причин неэффективности. Алгоритм с запоминанием вычисленных ранее значений. Оценка числа операций. Сравнение с предыдущим. (подробнее: глава 0, страницы 8-10 из книги <<Алгоритмы>>, см. список рекомендованной литературы)
2. Задача о ханойской башне. Постановка задачи. Рекурсивный алгоритм. Рекуррентная формула для числа перемещений. Замкнутая формула для числа перемещений (+ доказательство). Доказательство того, что эту задачу нельзя решить используя меньшее число перемещений дисков. (Разбор задачи о ханойской башне, автор Сергей Объедков)
3. Сортировка пузырьком. Алгоритм. Подсчёт количество операций сравнения и обмена (swap). Анализ наилучшего и наихудшего случаев (Википедия)

Домашнее задание (12.01 - 26.01)

Во всех задачах, если не оговорено иного, предполагаем, что работаем с целыми неотрицательными числами. Для первых 7 задач необходимо

• написать алгоритм на любом языке программирования или на псевдокоде,
• описать что можно считать наилучшим и наихудшим случаями,
• для каждого из двух случаев подсчитать отдельно количество операций сравнения и swap (если есть).

Задачи

1. Даны три числа, требуется вернуть наименьшее.
2. Даны три числа, требуется отсортировать их.
3. Дана последовательность A из n элементов и число x, требуется найти элемент равный x. Примечание: если таких значений i несколько, вернуть любое; если такого элемента нет, функция должна сообщить об этом.
4. * Дана упорядоченная последовательность A из n элементов и число x, требуется найти такое i, что A[i] равно x. Алгоритм должен быть эффективней, чем в предыдущем пункте и использовать то, что последовательность упорядочена.
5. Дана последовательность из 100 000 чисел от 0 до 100. Напишите эффективный алгоритм сортировки, который бы учитывал специфику входных данных.
6. * Дано 32 битное неотрицательное число. Требуется найти максимальный ненулевой бит. Разрешается использовать операцию обращения к i-тому биту. В дополнение к заданиям в преамбуле укажите математическое ожидание количества операций, считая, что числа распределены равномерно.
7. * Даны 32 битные неотрицательные числа m и n. Требуется вывести True, если m < n, иначе False. Разрешается использовать операцию обращения к i-тому биту. В дополнение к заданиям в преамбуле укажите математическое ожидание количества операций, считая, что числа распределены равномерно.
8. Напишите рекурсивную функцию, вычисляющую n-ое число Фибоначчи (как на занятии). Подсчитайте количество рекурсивных вызовов.
9. * Напишите функцию, вычисляющую n-ое число Фибоначчи, у которой число операций — полином от n, и которая использует количество памяти, независящее от n.

(15.01) Сложность алгоритмов и стратегия "разделяй и властвуй"

План занятия

1. Сортировка слиянием. Алгоритм, рекуррентное соотношение для времени сортировки, сложность. (подробнее: <<Алгоритмы>>, параграф 2.3, стр. 54, см. список рекомендованной литературы)
2. Понятие сложности алгоритма.
3. Задача о слиянии m упорядоченных массивов по n элементов. Три алгоритма решения: последовательное слияние, слияние "деревом" (обе функции используют Merge из MergeSort), аналог Merge для m массивов. Анализ сложности каждого из них.

Домашнее задание (15.01-29.01)

Везде, где требуется написать алгоритм, можно использовать любой язык программирования или псевдокод.

Задачи

1. Сколько строк напечатает программа? Запишите рекуррентное соотношение и решите его, то есть, выведите замкнутую (нерекуррентную формулу). Можно считать, что n является степенью двойки.

 Функция F(n)
 если n > 1:
   напечатать "всё ещё работаю"
   F(n/2)
   F(n/2)

1. В массиве A размера n записана возрастающая последовательность целых чисел. Постройте алгоритм типа "разделяй и властвуй", который проверяет, существует ли такой индекс i, что A[i] = i
   • за время O(n),
   • * за время O(log n),
   • какие случаи для вашего алгоритма являются наихудшими и наилучшими? Какого время работы в лучшем и худшем случаях?
2. Дан бесконечный массив A, первые n элементов которого содержат возрастающую последовательность положительных чисел, а дальше стоит -1. Значение n не дано. Постройте алгоритм, который получает на вход целое число x и находит это x в массиве --- или говорит, что там его нет, за время O(log n).
3. Рассмотрим алгоритм вычисления наибольшего общего делителя (НОД) двух положительных чисел, основанный на методе "разделяй и властвуй". (Перед выполнением рекомендуется прочитать "Алгоритмы", параграф 1.2.3 Алгоритм Евклида)
   • * Докажите, что

     2НОД(a/2, b/2), если а и b чётны,\nНОД(a,b) = 2НОД(a, b/2), если а нечётно, b чётно,
     

НОД((a-b)/2, b), если а и b нечётны,