Случайные процессы приложения 2025/26

Лектор и семинаристы

Лектор	Алексей Наумов	[anaumov@hse.ru]	T924
Лектор	Сергей Самсонов	[svsamsonov@hse.ru]	T904

О курсе

В рамках курса будут изложены основы теории случайных процессов и стохастического интегрирования. В качестве основного приложения данной теории выбраны стохастические дифференциальные уравнения и их применения к задачам генеративного моделирования и сэмплинга (генерации данных из заданного распределения). Присоединяйтесь к группе в телеграмме Ссылка.

Схема оценки

Финальная оценка состоит из 2 компонент (каждая из которых несть неотрицательное вещественное число от 0 до 10, без предварительного округления) :

• O_HW - оценка за домашние задания
• O_Exam - оценка за экзамен

Формула для финальной оценки

• O_Final = 0.5*O_HW + 0.5*O_Exam

со стандартным (арифметическим) округлением.

Прочитанные лекции

Лекция 1 (20.01.2026). Напоминание: базовые факты о классах множеств. Полукольца, кольца, сигма-кольца и сигма-алгебры. Мера на полукольце, ее свойства. Продолжение меры с полукольца на кольцо. Наследственный класс, внешняя мера. Продолжение меры с кольца на порожденное из сигма-кольцо (теорема Каратеодори). Полная мера, пополнение меры.

Литература:

Лекция 2 (20.01.2026). Случайные процессы: основные определения. Конечномерные распределения. Существование случайного процесса с заданными конечномерными распределениями (теорема Колмогорова, с доказательством).

Литература:

Лекция 3 (27.01.2026). Продолжение доказательства теоремы Колмогорова. Одинаково распределенные, эквивалентные, неотличимые случайные процесссы. Сепарабельность случайного процесса, теорема о существовании сепарабельной версии.

Литература:

Лекция 4 (27.01.2026). Марковские моменты, их свойства. Предсказуемая сигма-алгебра, ее свойства.

Литература:

Лекция 5 (03.02.2026). Винеровский процесс. Определение, конечномерные распределения. Теорема о существовании винеровского процесса.

Литература:

Лекция 6 (03.02.2026). Винеровский процесс. Свойства траекторий винеровского процесса. Принцип отражения для винеровского процесса.

Литература:

Лекция 7 (10.02.2026). TBD

Литература:

Лекция 8 (10.02.2026). TBD

Литература:

Материалы курса

• [1] - Видеозаписи лекций текущего академического года

• [TBD] - Конспект лекций (last update: TBD)

Домашние задания

TBD

Экзамен

TBD

Рекомендованная литература

• [2] - видеолекции В.В. Ульянова с ВМК МГУ по математическим основам теории меры

• В.М. Круглов - Основы теории случайных процессов;

• Л. Коралов, Я. Синай - Теория вероятностей и случайные процессы;