Линейная алгебра и геометрия на ПМИ 2025/2026 (пилотный поток)

Преподаватели и учебные ассистенты

Группа	БПМИ251	БПМИ252	БПМИ253	БПМИ254	БПМИ255
Лектор	Дима Трушин
Семинарист	Дима Трушин	Юля Зайцева	Дима Трушин	Антон Трушин	Михаил Игнатьев
Ассистент	Хаким Вердиев и Дмитрий Калугин	Антон Ныйкин и Вова Родин	Михаил Бугрышев и Андрей Павлов	Юлия Баранова и Катя Тюрина	Елизавета Жукова и Анастасия Одинцова

Расписание консультаций

	Преподаватель/ассистент	понедельник	вторник	среда	четверг	пятница	суббота	воскресенье
1	Дима Трушин			pending
2	Юля Зайцева
3	Михаил Игнатьев
4	Антон Трушин

* Просьба предупреждать, если планируете прийти, возможны изменения

Формы контроля знаний студентов

• Коллоквиум
• Контрольная работа
• Большие домашние задания (делящиеся на индивидуальные домашние задания и лабораторные работы)
• Активность и работа на семинарах
• Экзамен

Бонус к накопленной оценке:

• Устная сдача задач из листков

Порядок формирования итоговой оценки

2-й модуль

Формула для накопленной оценки:

O_{накопленная} = 0,36 * О_колл + 0,25 * O_к/р + 0,25 * O_д/з + 0,14 * O_сем + 0,1 * O_л,

где О_колл — оценка за коллоквиум, O_к/р — оценка за контрольную работу, O_д/з — оценка за большие домашние задания, O_сем — оценка за работу на семинарах и O_л — оценка за сдачу задач из листков.

Формула для итоговой оценки:

O_{итоговая} = 0,7 * O_{накопленная} + 0,3 * О_экз.

В этой формуле используется неокруглённое значение накопленной оценки. Способ округления итоговой оценки — арифметический.

4-й модуль

Формула для накопленной оценки:

O_{накопленная} = 0,36 * О_колл + 0,25 * O_к/р + 0,25 * O_д/з + 0,14 * O_сем + 0,1 * O_л,

где О_колл — оценка за коллоквиум, O_к/р — оценка за контрольную работу, O_д/з — оценка за большие домашние задания, O_сем — оценка за работу на семинарах и O_л — оценка за сдачу задач из листков.

Формула для итоговой оценки:

O_{итоговая} = 0,7 * O_{накопленная} + 0,3 * О_экз.

В этой формуле используется неокруглённое значение накопленной оценки. Способ округления итоговой оценки — арифметический.

Итоговая оценка за курс -- оценка за 4-ый модуль.

Краткое содержание лекций

1-2 модули

Лекция 1 (03.09.2025). Системы линейных уравнений. Алгоритм Гаусса. Матрицы и матричные операции.

Лекция 2 (10.09.2025). Дефекты матричных операций. Связь с линейными уравнениями. Деление и обратимость матриц. Левая и правая обратная, двусторонняя обратимость только для квадратных матриц. Матрицы элементарных преобразований. Невырожденность матриц: 6 эквивалентных определений.

Лекция 3 (17.09.2025) Следствия 6 эквивалентных определений. Массовое решение систем. Поиск обратной матрицы Гауссом. Блочные формулы умножения матриц. Метод восстановления главных переменных через множество решений. Единственность улучшенного ступенчатого вида матрицы. Классификация систем с одинаковым множеством решений.

Лекция 4 (24.09.2024) Полиномиальное исчисление от матриц. Существование многочлена зануляющего матрицу. Спектр матрицы. Минимальный многочлен и его связь со спектром. Наивная оценка на степень минимального многочлена.

Лекция 5 (01.10.2025) Перестановки. Операция на перестановках. Правила переименования. Циклы. Знак перестановки. Существование и единственность знака перестановки.

Лекция 6 (08.10.2025) Три подхода к определителям: (I) явная формула с помощью перестановок, (II) полилинейность и кососимметричность по строкам (или столбцам), (III) согласованность с умножением. Вычисление по явной формуле для верхнетреугольных матриц и в случае размерностей 2 и 3. Определитель транспонированной матрицы. Полилинейность определителя (импликация (I)=>(II)). Определитель элементарных матриц. Классификация полилинейных отображений. Доказательство импликации (II)=>(I).

Лекция 7 (15.10.2025) Мультипликативность определителя (импликация (II)=>(III)), определитель с углом нулей и определитель блочно верхнетреугольной матрицы. Импликация (III)=>(I). Миноры и алгебраические дополнения, присоединенная матрица. Разложение определителя по строке или столбцу. Явные формулы для обратной матрицы.

Лекция 8 (22.10.2025) Формулы Крамера. Характеристический многочлен. Связь характеристического многочлена со спектром. Явные формулы для коэффициентов характеристического многочлена. Теорема Гамильтона-Кэли.

Лекция 9 (5.11.2025) Определение поля. Определение подполя и изоморфизма полей, изоморфизм над подполем. Комплексные числа: концептуальное определение, две конструкции. Различные операции на комплексных числах, геометрическая модель. План доказательства алгебраической замкнутости поля комплексных чисел.

Лекция 10 (12.11.2025) Доказательства алгебраической замкнутости поля комплексных чисел.

Лекция 11 (19.11.2025) Векторные пространства, подпространства, линейные комбинации, линейная зависимость. Примеры пространств и подпространств. Порождающая система, линейная оболочка.

Лекция 12 (26.11.2025) Три эквивалентных определения базиса. Понятие размерности. Конечномерные векторные пространства. Понятие координат вектора. Описание всех базисов в терминах одного.

Лекция 13 (3.12.2025) Фундаментальная система решений. Пять определений ранга: строчный, столбцовый, факториальный, тензорный, минорный. Неизменность первых четырех рангов при домножении на обратимую матрицу слева и справа и их совпадение. Совпадение минорного ранга с остальными.

Листки с задачами

Задачи из листков можно сдавать любому семинаристу по данному предмету (в том числе с основного потока) в часы его консультаций или по договорённости.

Правила сдачи и оценивания задач из листков:

• каждый пункт в листке считается отдельной задачей
• сдача задачи возможна только при наличии её решения в письменном виде
• результатом сдачи одной задачи может быть 0 или 1

Листок 1. Матричные алгебры Ли

Сроки сдачи листка 1:

задачи принимаются в период с момента выдачи листка по 24 октября включительно

в период с 18 по 24 октября включительно одному студенту разрешается сдать не более шести задач

Листок 2. Разложения матриц

Сроки сдачи листка 2:

задачи принимаются в период с момента выдачи листка по 19 декабря включительно

в период с 13 по 19 декабря включительно одному студенту разрешается сдать не более шести задач

Контрольные работы

2-й модуль

Дата контрольной работы -- 13 декабря. Время и правила проведения контрольной TBA.

Коллоквиумы

2-й модуль

Дата проведения коллоквиума -- 19 декабря. Точные условия и правила TBA.

Ведомости текущего контроля

1-2 модули

Результаты проверки больших домашних заданий

251	252	253	254	255

Результаты сдачи задач из листков

251	252	253	254	255

Ссылки

• Общие

1. Канал в Telegram
2. Лекции на github.
3. Алгоритмы на github.

• Группы 251 и 253

1. Группа в Telegram
2. Материалы семинаров и домашние задания

Литература

Учебники

• Э.Б. Винберг. Курс алгебры. М.: Факториал, 1999 (или любое последующее издание)
• А.И. Кострикин. Введение в алгебру. Часть I. Основы алгебры. М.: Физматлит, 1994
• А.И. Кострикин. Введение в алгебру. Часть II. Линейная алгебра. М.: Физматлит, 2000
• S. Axler. Linear Algebra Done Right, Second Edition, Springer, 1997 (или любое последующее издание)

Сборники задач

• Сборник задач по алгебре под редакцией А.Н. Кострикина. Новое издание. М.: МЦНМО, 2009.
• И.В. Проскуряков. Сборник задач по линейной алгебре (любое издание, например М.: БИНОМ, 2005)
• Г.Д. Ким, Л.В. Крицков. Алгебра и аналитическая геометрия. Теоремы и задачи. Том I. М.: "Планета знаний", 2007.